Question

已知反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（2，a）（a＞0），過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，將線段AB沿x軸正方向平移，與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象相交于點F（p，q）．

（1）當(dāng)F點恰好為線段的中點時，求直線AF的解析式 （用含a的代數(shù)式表示）；

（2）若直線AF分別與x軸、y軸交于點M、N，當(dāng)q=-a²+5a時，令S=S_△ANO+S_△MFO（其中O是原點），求S的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）10＜S＜16．

【解析】

試題分析：（1）先把點A（2，a）代入反比例函數(shù)y=（x＞0）求出k的值，再根據(jù)F為線段的中點可知F的縱坐標(biāo)為，把y=代入y=可得出x的值，進(jìn)而得出點F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)求出直線AF的解析式即可；

（2）根據(jù)點F（p，q） 在反比例函數(shù)y=的圖象上且q=-a²+5a可得出F點的坐標(biāo)，故可得出直線AF的解析式，進(jìn)而得出M、N的坐標(biāo)，過A作AG⊥y軸于點G，則可得出AG，ON，OM，F(xiàn)H的長，根據(jù)S=S_△ANO+S_△MFO=•ON•AG+OM•FH可得出關(guān)于S、a的二次函數(shù)，根據(jù)a的取值范圍即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）∵反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（2，a）（a＞0），

∴k=2a，

∴y=，

∵F為線段的中點，

∴F的縱坐標(biāo)為，把y=代入y=得x=4

∴F（4，），

設(shè)直線AF的解析式為y=k₁x+b，

∴，

解得，

∴直線AF的解析式為：；

（2）∵F（p，q） 在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴q=，

∵q=-a²+5a，

∴p=，

∴F（，-a²+5a）

∴直線AF的解析式為：y=x+（6a-a²），

∴N（0，6a-a²），M（，0），

過A作AG⊥y軸于點G，

則AG=2，ON=6a-a²，OM=，F(xiàn)H=-a²+5a

S=S_△ANO+S_△MFO=•ON•AG+OM•FH

=×2×（6a-a²）+••（-a²+5a）

=-2a²+12a

=-2（a-3）²+18

∵q＞0，q＜a，

∴4＜a＜5．

∴由函數(shù)性質(zhì)可知，10＜S＜16．

【難度】困難