解:(1)①∵四邊形A
1B
1C
1O為正方形,
∴OC
1=B
1C
1,∠OC
1B
1=90度.
又∵D是B
1C
1的中點,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426880.png)
.
∵由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,∠C
1OD=∠AOA
1=α,
∴在Rt△C
1OD中,tanα=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426881.png)
.
∴tanα的值是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201308/5285139e787b0.png)
②過點A
1作A
1E⊥x軸,垂足為點E.
在Rt△A
1EO中,tanα=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426882.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426883.png)
.
設(shè)A
1E=k,則OE=2k,在Rt△A
1EO中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426884.png)
,
根據(jù)勾股定理,得A
1E
2+OE
2=OA
12.
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/349953.png)
,
解得k
1=-1(舍),k
2=1.
∴A
1E=1,OE=2.
又∵點A
1在第二象限,
∴點A
1的坐標為(-2,1).
直接寫出點B
1的坐標為(-1,3),點C
1的坐標為(1,2).
∵拋物線y=ax
2+bx+c過點A
1,B
1,C
1.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426885.png)
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426886.png)
∴拋物線的函數(shù)表達式為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426887.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201308/5285139e909ab.png)
(2)將(1)的拋物線解析式配方,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426888.png)
.
∴拋物線的對稱軸是直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426889.png)
.
假設(shè)存在符合條件的點P,分三種情況:
①以點B
1為直角頂點;
易求得,直線A
1B
1的解析式:y=2x+5,
當x=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2405.png)
時,y=2×(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2405.png)
)+5=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/7086.png)
;
②以點C
1為直角頂點;
易求得,直線OC
1的解析式:y=2x,
當x=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2405.png)
時,y=2×(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2405.png)
)=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14.png)
;
③以點P為直角頂點;
分別過點B
1、C
1作拋物線對稱軸的垂線,垂足為G、H;(如右圖)
設(shè)點P(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2405.png)
,y):
當點P在直線B
1C
1上方時,
B
1G=1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2405.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3724.png)
、PG=y-3、C
1H=1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2405.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/37778.png)
、PH=y-2
∵∠B
1PG=90°-∠C
1PH=∠PC
1H,∠B
1GP=∠PHC
1=90°
∴△B
1GP∽△PHC
1,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426890.png)
解得:y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426891.png)
、y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426892.png)
(舍);
當點P在直線B
1C
1下方時,同上,可求得y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426892.png)
;
綜上,存在點P,使△PB
1C
1為直角三角形.
滿足條件的點P共有4個:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426893.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426894.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426895.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426896.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201308/5285139ea30fe.png)
(3)設(shè)運動后的正方形為O′A′B′C′,分三種情況:
①當點A′運動到x軸上時,t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
;
當0<t≤
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
時,如圖①;
OO′=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
t,O′E=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
OO′=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
t
∴S=S
正方形-S
△OO′E=5-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
t×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
t=-5t
2+5;
②當點C′運動到x軸上時,t=1;
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
<t<1時,如圖②;
OO′=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
t,OA′=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
t-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,A′F=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
OA′=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426897.png)
,O′E=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
OO′=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
t
B′F=A′B′-A′F=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426898.png)
,C′E=O′C′-O′E=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
t;
∴S=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
(B′F+C′E)×B′C′=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426898.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
t)×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426899.png)
;
③當點B′運動到x軸上時,t=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
;
當1≤t<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
時,如圖③;
同②可得:B′F=A′B′-A′F=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426898.png)
,B′E=2B′F=3
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
-2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
t;
∴S=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426898.png)
×(3
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
-2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
t)=5t
2-15t+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17835.png)
;
綜上,S=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/426900.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201308/5285139eb17f1.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201308/5285139ec4f5d.png)
分析:(1)①在Rt△ODC
1中,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知,∠DOC
1=α,而DC
1是正方形邊長的一半,可據(jù)此求出∠α的正切值;
②在求拋物線的解析式中,必須先求出A
1、B
1、C
1三點的坐標,可過這三點分別作坐標軸的垂線(具體向哪條坐標軸作垂線,可視情況而定),通過構(gòu)建的直角三角形以及∠α的正切值,可求出這三點的坐標,再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可.
(2)首先要大致確定有幾個符合條件的點P:
①點B
1是直角頂點,那么點P必為直線A
1B
1與拋物線對稱軸的交點(有一個);
②點C
1是直角頂點,那么點P必為直線OC
1與拋物線對稱軸的交點(有一個);
③點P是直角頂點,那么點P必為以線段B
1C
1為直徑的圓與拋物線對稱軸的交點(有兩個),可過B
1、C
1作對稱軸的垂線,通過構(gòu)建的相似三角形來求出點P的坐標.
(3)此題的思路并不復雜,但需要考慮的情況較多,大致分成三段考慮即可:
①x軸在O、A
1兩點之間、②x軸在A
1、C
1兩點之間、③x軸在B
1、C
1兩點之間.
點評:此題涉及的內(nèi)容相等復雜,難度很大,主要考查的知識點有:函數(shù)解析式的確定、正方形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、解直角三角形的應(yīng)用、相似三角形與直角三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法等等.后兩題涉及的情況較多,一定要注意分類討論.最后一題中,一定要注意t的不同取值范圍內(nèi),正方形的運動位置.