Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于F

（1）點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，試探究線段BD、AB和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出正確結(jié)論并證明。

Answer 1

【答案】（1）AB=AF+BD，證明詳見(jiàn)解析；（2）不成立，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AB=AF-BD；點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，AB=BD-AF，證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件易證△FAB≌△DAC，由全等三角形的性質(zhì)可得FA=DA，由此即可證得AB=AD+BD=FA+BD；（2）由于點(diǎn)D的位置在變化，因此線段AF、BD、AB之間的大小關(guān)系也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化，只需畫出圖象并借鑒（1）中的證明思路就可解決問(wèn)題．

（1）AB=FA+BD．

證明：如圖，

∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，

∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．

∴∠FBA=∠FCE．

∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，

∴∠FAB=∠DAC．

在△FAB和△DAC中，．

∴△FAB≌△DAC（ASA）．

∴FA=DA．

∴AB=AD+BD=FA+BD．

（2）（1）中的結(jié)論不成立．

點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AB=AF-BD；點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，AB=BD-AF．

理由如下：

點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2．

類比（1）的方法可得：FA=DA．

則AB=AD-BD=AF-BD．

②點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3．

類比（1）的方法可得：FA=DA．

則AB=BD-AD=BD-AF．