Question

2．已知二次函數(shù)y=x²+2bx+c（b、c為常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)b=1，c=-3時，求二次函數(shù)在-2≤x≤2上的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)c=3時，求二次函數(shù)在0≤x≤4上的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)c=4b²時，若在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把b=1，c=-3代入函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）根據(jù)當(dāng)c=3時，分情況討論求出二次函數(shù)最小值；
（Ⅲ）當(dāng)c=4b²時，寫出解析式，分三種情況減小討論即可

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)b=1，c=-3時，二次函數(shù)解析式為y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴x=-1在-2≤x≤2的范圍內(nèi)，此時函數(shù)取得最小值為-4，
（Ⅱ）y=x²+2bx+3，的對稱軸為x=-b，
①若-b＜0，即b＞0時，當(dāng)x=0時，y有最小值為3，
②若0≤b≤4，即：-4≤b≤0時，當(dāng)x=-b時，y有最小值-b²+3；
③若-b＞4，即b＜-4時，當(dāng)x=-4時，y有最小值為8b+19，
（Ⅲ）當(dāng)c=4b²時，二次函數(shù)的解析式為y=x²+2bx+4b²，它的開口向上，對稱軸為x=-b的拋物線，
①若-b＜2b，即b＞0時，在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y隨x增大而增大，
∴當(dāng)x=2b時，y=（2b）²+2b×2b+（2b）²=12b²為最小值，
∴12b²=21，
∴b=$\frac{\sqrt{7}}{2}$或b=-$\frac{\sqrt{7}}{2}$（舍）
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²+$\sqrt{7}$x+7，
②若2b≤-b≤2b+3，即-1≤b≤0，
當(dāng)x=-b時，代入y=x²+2bx+4b²，得y最小值為3b²，
∴3b²=21
∴b=-$\sqrt{7}$（舍）或b=$\sqrt{7}$（舍），
③若-b＞2b+3，即b＜-1，在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y隨x增大而減小，
∴當(dāng)x=2b+3時，代入二次函數(shù)的解析式為y=x²+2bx+4b²中，得y最小值為12b²+18b+9，
∴12b²+18b+9=21，
∴b=-2或b=$\frac{1}{2}$（舍），
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+16．
綜上所述，b=$\frac{\sqrt{7}}{2}$或b=-2，此時二次函數(shù)的解析式為y=x²+$\sqrt{7}$x+7或y=x²-4x+16

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的最值：確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．