Question

如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．

（1）求證：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

    證明：（1）如圖1，連接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠ACP=∠ABC，

∴AB=AC；

（2）如圖2，延長AP交⊙O于D，連接BD，

設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，

則AB²=OA²﹣OB²=5²﹣r²，

AC²=PC²﹣PA²=（2）²﹣（5﹣r）²，

∴5²﹣r²=（2）²﹣（5﹣r）²，

解得：r=3，

∴AB=AC=4，

∵PD是直徑，

∴∠PBD=90°=∠PAC，

又∵∠DPB=∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴=，

∴=，

解得：PB=．

∴⊙O的半徑為3，線段PB的長為．

點評：  本題考查了等腰三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，切線的性質，勾股定理，直線與圓的位置關系等知識點的應用，主要培養(yǎng)學生運用性質進行推理和計算的能力．本題綜合性比較強，有一定的難度．