Question

【題目】我國宋朝數(shù)學(xué)家楊在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖所示），此圖揭示了 （n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．

例如：，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；，它有四項(xiàng)系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；……根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

（1）展開式共有________項(xiàng)，系數(shù)分別為________．

（2）展開式共有________項(xiàng)，系數(shù)和為________．

（3）展開結(jié)果為________．

（4）利用上面的規(guī)律計(jì)算：．

Answer 1

【答案】（1）5 ， 1、4、6、4、1；（2）， ；（3）；（4）1．

【解析】

（1）展開，看共有多少項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)分別為多少；

（2）猜想：展開式共有n+1項(xiàng)，系數(shù)和為（n為非負(fù)整數(shù)），代入 猜想均成立，則猜想成立；

（3）根據(jù)以上歸納的規(guī)律，代入 ，得出展開結(jié)果；

（4）根據(jù)以上歸納的規(guī)律對原式進(jìn)行計(jì)算即可．

（1）

∴展開式共有5項(xiàng)，系數(shù)分別為1，4，6，4，1．

（2）猜想：展開式共有項(xiàng)，系數(shù)和為 （n為非負(fù)整數(shù)）

當(dāng) ,展開式有2項(xiàng)，系數(shù)和為2，成立；

當(dāng) ,展開式有3項(xiàng)，系數(shù)和為4，成立；

當(dāng) ,展開式有4項(xiàng)，系數(shù)和為8，成立；

當(dāng) ,展開式有5項(xiàng)，系數(shù)和為16，成立；

∴猜想成立，展開式共有項(xiàng)，系數(shù)和為 （n為非負(fù)整數(shù)）．

（3）展開結(jié)果為．

（4）原式．