Question

【題目】如圖平面直角坐標系中，直線y＝kx+1與x軸交于點A點，與y軸交于B點，P（a，b）是這條直線上一點，且a、b（a＜b）是方程x2﹣6x+8＝0的兩根．Q是x軸上一動點，N是坐標平面內一點，以點P、B、Q、N四點為頂點的四邊形恰好是矩形，則點N的坐標為_____或_____．

Answer 1

【答案】（，3） （6，﹣3）

【解析】

如圖，作BQ1⊥AP，交x軸于Q1，PQ2⊥AP，交x軸于Q2，作Q1N1⊥PQ2于N1，Q2N2⊥BQ1，交BQ1延長線于N2，設Q1坐標為（m，0），求出方程x2﹣6x+8＝0的兩根可得P點坐標，代入y=kx+1可求出k值，進而可求出A點坐標，利用直角三角形兩銳角互余的關系可得∠BQ1O=∠ABO，即可證明△BQ1O∽△ABO，△ABO根據(jù)相似三角形的性質即可求出m的值，可得Q1坐標，根據(jù)B、Q1坐標可得直線BQ1的解析式，根據(jù)PQ2//BQ1及P點坐標可得PQ2解析式，同理可求出Q1N1和Q2N2解析式，聯(lián)立解析式即可求出N1和N2的坐標，即可得答案.

如圖，作BQ1⊥AP，交x軸于Q1，PQ2⊥AP，交x軸于Q2，作Q1N1⊥PQ2于N1，Q2N2⊥BQ1，交BQ1延長線于N2，設Q1坐標為（m，0），

解方程x2﹣6x+8＝0得x1=2，x2=4，

∵P（a，b）是這條直線上一點，且a、b（a＜b）是方程x2﹣6x+8＝0的兩根，

∴點P坐標為（2，4），

∴4=2k+1，

解得k=，

∴AP的解析式為：y=x+1，

當y=0時，x=；當x=0時，y=1，

∴點A坐標為（，0），點B坐標為（0，1），

∴OA=，OB=1，

∵四邊形BQ1N1P和四邊形BN2Q2P是矩形，

∴∠ABQ1=90°，

∴∠ABO+∠OBQ1=90°，

∵∠BQ1O+∠OBQ1=90°，

∴∠BQ1O=∠ABO，

又∵∠AOB=∠BOQ1=90°，

∴△BQ1O∽△ABO，

∴，即，

解得：m=，

∴Q1坐標為（，0），

設直線BQ1的解析式為y=x+b1，

∴，

解得：，

∴直線BQ1的解析式為：y=x+1，

∵PQ2//BQ1，

∴設直線PQ2的解析式為：y=x+b2，

∴×2+b2=4，

解得：b2=，

∴直線PQ2的解析式為：y=x+，

當y=0時，x=8，

∴Q2坐標為（8，0），

∵Q1N1//Q2N2//AP，

∴同理可得：直線Q1N1的解析式為：y=x-，

直線Q2N2的解析式為：y=x-12，

聯(lián)立Q1N1和PQ2解析式得，

解得：，

∴N1坐標為（，3）

聯(lián)立Q2N2和BQ1解析式得，

解得：，

∴N2坐標為（6，-3），

綜上所述：點N坐標為（，3）或（6，-3），

故答案為：（，3），（6，-3），