Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C和點(diǎn)重合），連接PB，過(guò)點(diǎn)P作交射線DA于點(diǎn)F，連接BF． 已知AD=3，CD=3，設(shè)CP的長(zhǎng)為x，

（1）線段的最小值 ，當(dāng)x=1時(shí)， ；

（2）如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，與的交點(diǎn)為G，的中點(diǎn)為，求線段GH的長(zhǎng)度；

（3）當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，

①試探究是否會(huì)發(fā)生變化？若不改變，請(qǐng)求出大��；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1），30°；（2）；（3）①30°；②x=3或3

【解析】

（1）當(dāng)BP最小時(shí)，即BP⊥AC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可求出BP值，當(dāng)x=1時(shí)，可得出△BPN∽△PMF，由此可得出tan∠FBP的值，則可得到∠FBP的值；

（2）可證BP垂直平分AP，求得FP=，證GH是Rt△FGP中線，則GH=FP；

（3）①過(guò)P作PN⊥BC交AD于M，可證△FMP∽△PNB，設(shè)PC=x，PN=，可求得NC，MP，BN長(zhǎng)度，tan∠FBP===，即可求得∠FBP的大小；

②分三種情況討論求解即可.

（1）當(dāng)BP最小時(shí)，A與F重合，即BP⊥AC，

∵AD=3，CD=3，

∴AC=6，∠BAC=30°，

在Rt△ABC和Rt△APB中，∠BAC=∠PAB，

∴△ABC∽△APB，

∴=，

∴=，

∴BP=；

作PM⊥BC于N，交AD于M，

當(dāng)x=1時(shí)，PN=，MP=，CN=，BN=，

∵∠BNP=∠PMF=∠BPM=90°，

∴∠FPM+∠PFM=90°，∠FPM+∠BPN=90°,

∴∠PFM=∠BPN，

∴△BPN∽△PMF，

∴===tan∠FBP=，

∴當(dāng)x=1時(shí)，∠FBP=30°;

（2）∵P為AC中點(diǎn)，

∴AP=PC=AB=3，

∴∠ABP=∠APB=∠BAP=60°，

在Rt△ABF和Rt△PBF中，AB=BP，BF=BF，

∴Rt△ABF≌Rt△PBF，

∴AG=PG，∠AGB=∠PGB=90°，

∴BF垂直平分AP，

在Rt△BFP中，∠PBF=30°，BP=3，

∴PF=tan30°×3=，

∵H為PF中點(diǎn)，

∴GH為Rt△PGF的中線，

∴GH=PF=;

（3）①∠FBP=30°，

過(guò)P作PN⊥BC交AD于M，

∵∠PBN=∠FPM，∠BPN=∠PFM，

∴△FMP∽△PNB，

設(shè)CP=x，則PN=，NC=x，MP=3-x，BN=3-x，

∴tan∠FBP===，

∴∠FBP=30°；

②（i）若AF=FP，則∠FPA=∠FAP=30°，

∴AB=BP，且△ABP為等邊三角形，

∴BF為△ABP垂直平分線，

∴AB=BP=3，即x=3；

（ii）若AP=FP，則∠APF=120°＞90°（舍去）；

（iii）若AP=AF，則∠CBP=∠CPB=75°，BC=PC，此時(shí)x=3.