Question

【題目】如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．

（1）求證：△OCD是等邊三角形．

（2）當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀（按角分類(lèi)），并說(shuō)明理由．

（3）求∠OAD的度數(shù)．

（4）探究：當(dāng)α=　 　時(shí)，△AOD是等腰三角形．（不必說(shuō)明理由）

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）是直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3）50°；（4）110°或125°或140°

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=DC，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，結(jié)合圖形計(jì)算即可；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠BOC=∠α，根據(jù)題意求出∠ADO、∠AOD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算；

（4）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三種情況，根據(jù)等腰三角形的判定定理計(jì)算即可．

解：（1）∵△BOC≌△ADC，

∴OC=DC．

∵∠OCD=60°，

∴△OCD是等邊三角形；

（2）△AOD是Rt△．理由如下：

∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC=60°，

∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，

∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，

∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=150°﹣60°=90°，

∴△AOD是直角三角形；

（3）由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α．

∵△OCD是等邊三角形，

∴∠ADO=α﹣60°，∠AOD=360°﹣110°﹣α﹣60°=190°﹣α，

∴∠OAD=180°﹣∠ADO﹣∠AOD=50°；

（4）①當(dāng)∠AOD=∠ADO時(shí)，190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°．

②當(dāng)∠AOD=∠OAD時(shí)，190°﹣α=50°，∴α=140°．

③當(dāng)∠ADO=∠OAD時(shí)，α﹣60°=50°，∴α=110°．

綜上所述：當(dāng)α=110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形，

故答案為：110°或125°或140°．