Question

1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G．F為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF=∠CBG．
（1）求證：BG=CF；
（2）求證：CF=2DE；
（3）若DE=1，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）利用“ASA”判斷△BCG≌△CFA，從而得到BG=CF；
（2）連結AG，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得CG垂直平分AB，則BG=AG，再證明∠D=∠GAD得到AG=DG，所以BG=DG，接著證明△ADE≌△CGE得到DE=GE，則BG=2DE，利用利用△BCG≌△CFA得到CF=BG，于是有CF=2DE；
（3）先得到BG=2，GE=1，則BE=3，設CE=x，則BC=AC=2CE=2x，在Rt△BCE中利用勾股定理得到x²+（2x）²=3²，解得x=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，所以BC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，AB=$\sqrt{2}$BC=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，然后在Rt△ABD中利用勾股定理計算AD的長．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴∠CAF=∠ACG=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠BCG=45°，
在△BCG和△CFA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠ACF}\\{BC=CA}\\{∠BCG=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△CFA，
∴BG=CF；
（2）證明：連結AG，
∵CG為等腰直角三角形ACB的頂角的平分線，
∴CG垂直平分AB，
∴BG=AG，
∴∠GBA=∠GAB，
∵AD⊥AB，
∴∠D+∠DBA=90°，∠GAD+∠GAB=90°，
∴∠D=∠GAD，
∴AG=DG，
∴BG=DG，
∵CG⊥AB，DA⊥AB，
∴CG∥AD，
∴∠DAE=∠GCE，
∵E為AC邊的中點，
∴AE=CE，
在△ADE和△CGE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠GCE}\\{AE=CE}\\{∠AED=∠CEG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CGE，
∴DE=GE，
∴DG=2DE，
∴BG=2DE，
∵△BCG≌△CFA，
∴CF=BG，
∴CF=2DE；
（3）解：∵DE=1，
∴BG=2，GE=1，即BE=3，
設CE=x，則BC=AC=2CE=2x，
在Rt△BCE中，x²+（2x）²=3²，解得x=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴BC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
在Rt△ABD中，∵BD=4，AB=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{6\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．