【題目】如圖1,已知拋物線L1:y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,在L1上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸,垂足為D,將L1沿直線l翻折得到拋物線L2,交x軸于點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)).
(1)當(dāng)L1與L2重合時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),求此時(shí)L2的解析式;并直接寫(xiě)出L1與L2中,y均隨x的增大而減小時(shí)的x的取值范圍;
(3)連接PM,PB,設(shè)點(diǎn)P(m,n),當(dāng)n= m時(shí),求△PMB的面積.
【答案】(1)P(1,4);(2)x≥5 ;(3)△PMB的面積為或3
【解析】
(1)由配方法可得頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)由對(duì)稱性求出拋物線L2的頂點(diǎn),進(jìn)而得到解析式,由圖象可得;
(3)利用點(diǎn)P在拋物線上和n=m構(gòu)造方程求出m、n,分類討論求△PMB的面積.
(1)由拋物線對(duì)稱性,當(dāng)點(diǎn)P為拋物線L1的頂點(diǎn)時(shí),拋物線L1與L2重合
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4
∴點(diǎn)P(1,4)
(2)在拋物線L1中,令y=0,即-x2+2x+3=0
解得x1=-1,x2=3
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),此時(shí)P(3,0)
∴拋物線L2與拋物線L1關(guān)于直線x=3對(duì)稱
∴拋物線L2的頂點(diǎn)為(5,4)
∵由拋物線對(duì)稱性可知,拋物線L1和L2開(kāi)口方向和大小相同.
∴拋物線L2和的解析式為y=-(x-5)2+4=-x2+10x-21
∴結(jié)合圖象可知,當(dāng)x≥5時(shí),拋物線L1與拋物線L2中,y均隨x的增大而減小
(3)當(dāng)n=m時(shí),-m2+2m+3=m
解得m1=-,m2=2
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(-,-)或(2,3)
①如圖1,
當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(-,-)時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(-,0)
∴DB=3-(-)=
∴MB=2BD=2×=9
∴S△PMB=MBPD=×9×=
②如圖2,
當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,3)時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(2,0)
∴DB=3-2=1
∴MB=2BD=2
∴S△PMB=MBPD=×2×3=3
綜上所述當(dāng)點(diǎn)n=m時(shí),△PMB的面積為或3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在互相平行的三條直線l1,l2,l3上,且l1,l2之間的距離是1,l2,l3之間的距離是2,則BC的長(zhǎng)度為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=90°,AD=2,AB=6,以AB為直徑的半⊙O 切CD于點(diǎn)E,F(xiàn)為弧BE上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)F點(diǎn)的直線MN為半⊙O的切線,MN交BC于M,交CD于N,則△MCN的周長(zhǎng)為( )
A.9 B.10 C.3 D.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在不透光的布袋里放入標(biāo)有數(shù)字2,0,﹣3的三張的卡片(形狀與質(zhì)地完全相同).現(xiàn)在隨機(jī)地抽出兩張卡片,將兩個(gè)數(shù)字分別記作某個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo).
(1)從布袋中同時(shí)抽取兩張卡片時(shí)組成的所有點(diǎn)中,直接寫(xiě)出“點(diǎn)落入第四象限”概率是 ;
(2)如果抽出第一張卡片記錄數(shù)字后放回布袋,再?gòu)拇谐槿〉诙䦶埧ㄆ涗洈?shù)字后組成一個(gè)點(diǎn),用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法,求出“點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn),由A向C運(yùn)動(dòng)(與A、C不重合),Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合),過(guò)P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.
(1)當(dāng)∠BQD=30°時(shí),求AP的長(zhǎng);
(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段ED的長(zhǎng);如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,過(guò)點(diǎn)D向AB,AC兩邊作垂線,垂足分別為E,F(xiàn),那么下列結(jié)論中不一定正確的是( )
A. BD=CD B. DE=DF C. AE=AF D. ∠ADE=∠ADF
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年9月,我國(guó)中小學(xué)生迎來(lái)了新版“教育部統(tǒng)編義務(wù)教育語(yǔ)文教科書(shū)”,本次“統(tǒng)編本”教材最引人關(guān)注的變化之一是強(qiáng)調(diào)對(duì)傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作的閱讀,某校對(duì)A《三國(guó)演義》、B《紅樓夢(mèng)》、C《西游記》、D《水滸》四大名著開(kāi)展“最受歡迎的傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作”調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了若干名學(xué)生(每名學(xué)生必選且只能選這四大名著中的一部)并將得到的信息繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
(1)本次一共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)某班語(yǔ)文老師想從這四大名著中隨機(jī)選取兩部作為學(xué)生暑期必讀書(shū)籍,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求恰好選中《三國(guó)演義》和《紅樓夢(mèng)》的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,BC=1,運(yùn)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿路線BCD作勻速運(yùn)動(dòng),那么△ABP的面積與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程之間的函數(shù)圖象大致是( ).
A. B. C. D.
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【題目】如圖,∠AOB=20°,點(diǎn)M、N分別是邊OA、OB上的定點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別是邊OB、OA上的動(dòng)點(diǎn),記∠MPQ=α,∠PQN=β,當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí),則β-α的值為( )
A.19°B.40°C.9°D.29
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