已知,如圖1,拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)A(6,3),且對(duì)稱軸為直線.點(diǎn)B為直線OA下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若△OAB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
(3)如圖2,過點(diǎn)B作直線BC∥y軸,交線段OA于點(diǎn)C,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D,使△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)A(6,3),且對(duì)稱軸為直線,利用待定系數(shù)法求解即可;
(2)過點(diǎn)B作BH∥y軸,交OA于點(diǎn)H,將△OAB分成△OBH和△ABH兩部分求解;
(3)假設(shè)存在滿足題意的D點(diǎn),再根據(jù)△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形這一條件解答.
解答:解:(1)由題知:解之,得
∴該拋物線的解析式為:

(2)過點(diǎn)B作BH∥y軸,交OA于點(diǎn)H,
由題知直線OA為:,
∴設(shè)點(diǎn),點(diǎn),∴,
∴S=S△OBH+S△ABH=,
=
∴當(dāng)m=3時(shí),;


(3)存在,點(diǎn)B為(1+,)或(5-),
理由如下:設(shè)在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)D滿足題意,
過點(diǎn)D作DQ⊥BC于點(diǎn)Q,
則由(2)有點(diǎn),點(diǎn)B,
∵△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形
,即是:且(0<m<6),
,解之:(舍去),,
時(shí),,
∴點(diǎn)B(1+,),
,解之:(舍去),
當(dāng)時(shí),,

綜上,滿足條件的點(diǎn)B為(1+)或(5-).
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的知識(shí),是一道綜合題,難度較大,需要對(duì)各部分知識(shí)熟練掌握并靈活應(yīng)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖1,拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)A(6,3),且對(duì)稱軸為直線x=
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.點(diǎn)B為直線OA下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若△OAB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
(3)如圖2,過點(diǎn)B作直線BC∥y軸,交線段OA于點(diǎn)C,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D,使△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大安市模擬)已知:如圖1,拋物線y=-x2+bx+c的頂點(diǎn)為Q,與x軸交于A(-1,0)、B(5,0)兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(2)在該拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P,使得△PAC的周長最。(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)P的位置,并求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點(diǎn)D是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過D作DE⊥x軸,垂足為E.
①有一個(gè)同學(xué)說:“在第一象限拋物線上的所有點(diǎn)中,拋物線的頂點(diǎn)Q與x軸相距最遠(yuǎn),所以當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)Q時(shí),折線D-E-O的長度最長”.這個(gè)同學(xué)的說法正確嗎?請(qǐng)說明理由.
②若DE與直線BC交于點(diǎn)F.試探究:四邊形DCEB能否為平行四邊形?若能,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由;

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•鄂州)已知:如圖一,拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線y=x-2經(jīng)過A、C兩點(diǎn),且AB=2.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開始以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移,且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E,D,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BO方向以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng),(如圖2);當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí),直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動(dòng),連DP,若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒;設(shè)s=
ED+OPED•OP
,當(dāng)t為何值時(shí),s有最小值,并求出最小值.
(3)在(2)的條件下,是否存在t的值,使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖1,拋物線C1y=
1
3
(x-m)2+n
(m>0)的頂點(diǎn)為A,與y軸相交于點(diǎn)B,拋物線C2y=-
1
3
(x+m)2-n
的頂點(diǎn)為C,并與y軸相交于點(diǎn)D,其中點(diǎn)A、B、C、D中的任意三點(diǎn)都不在同一條直線
(1)判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由;
(2)如圖2,若拋物線y=
1
3
(x-m)2+n
 (m>0)的頂點(diǎn)A落在x軸上時(shí),四邊形ABCD恰好是正方形,請(qǐng)你確定m,n的值;
(3)是否存在m,n的值,使四邊形ABCD是鄰邊之比為1:
3
 的矩形?若存在,請(qǐng)求出m,n的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寶安區(qū)二模)已知:如圖1,拋物線經(jīng)過點(diǎn)O、A、B三點(diǎn),四邊形OABC是直角梯形,其中點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,BC∥OA,A(12,0)、B(4,8).
(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若D為OA的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位,移動(dòng)時(shí)間記為t秒.幾秒鐘后線段PD將梯形OABC的面積分成1﹕3兩部分?并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,作△OBC的外接圓O′,點(diǎn)Q是拋物線上點(diǎn)A、B之間的動(dòng)點(diǎn),連接OQ交⊙O′于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N.當(dāng)∠BOQ=45°時(shí),求線段MN的長.

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