Question

如圖所示，已知拋物線的圖象與y軸相交于點B(0，1)，點C(m，n)在該拋物線圖象上，且以BC為直徑的⊙M恰好經(jīng)過頂點A．

(1)求k的值；

(2)求點C的坐標；

(3)若點P的縱坐標為t，且點P在該拋物線的對稱軸l上運動，試探索：

①當S₁＜S＜S₂時，求t的取值范圍(其中：S為△PAB的面積，S₁為△OAB的面積，S₂為四邊形OACB的面積)；

②當t取何值時，點P在⊙M上．(寫出t的值即可)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵點B(0，1)在的圖象上，∴　　(2分) 　　∴k＝1　　(3分) 　　(2)由(1)知拋物線為： 　　 　　∴頂點A為(2，0)　　(4分) 　　∴OA＝2，OB＝1 　　過C(m，n)作CD⊥x軸于D，則CD＝n，OD＝m，∴AD＝m－2 　　由已知得∠BAC＝90°　　(5分) 　　∴∠CAD＋∠BAO＝90°，又∠BAO＋∠OBA＝90°∴∠OBA＝∠CAD 　　∴Rt△OAB∽Rt△DCA 　　∴(或tan∠OBA＝tan∠CAD)　(6分) 　　∴n＝2(m－2)； 　　又點C(m，n)在上，∴ 　　∴，即 　　∴m＝2或m＝10；當m＝2時，n＝0，當m＝10時，n＝16　　(7分) 　　∴符合條件的點C的坐標為(2，0)或(10，16)　　(8分) 　　(3)依題意得，點C(2，0)不符合條件，∴點C為(10，16) 　　此時 　　　　(9分) 　　又點P在函數(shù)圖象的對稱軸x＝2上，∴P(2，t)，AP＝|t| 　　∴＝|t|　　(10分) 　　∵ 　　∴當t≥0時，S＝t，∴1﹤t﹤21　　(11分) 　　∴當t﹤0時，S＝－t，∴－21﹤t﹤－1 　　∴t的取值范圍是：1﹤t﹤21或－21﹤t﹤－1　　(12分) 　　t＝0，1，17　　(14分)