如圖所示,已知拋物線的圖象與y軸相交于點B(0,1),點C(m,n)在該拋物線圖象上,且以BC為直徑的⊙M恰好經(jīng)過頂點A.
(1)求k的值;
(2)求點C的坐標;
(3)若點P的縱坐標為t,且點P在該拋物線的對稱軸l上運動,試探索:
①當S1<S<S2時,求t的取值范圍(其中:S為△PAB的面積,S1為△OAB的面積,S2為四邊形OACB的面積);
②當t取何值時,點P在⊙M上.(寫出t的值即可)
解:(1)∵點B(0,1)在 ∴k=1 (3分) (2)由(1)知拋物線為: ∴頂點A為(2,0) (4分) ∴OA=2,OB=1 過C(m,n)作CD⊥x軸于D,則CD=n,OD=m,∴AD=m-2 由已知得∠BAC=90° (5分) ∴∠CAD+∠BAO=90°,又∠BAO+∠OBA=90°∴∠OBA=∠CAD ∴Rt△OAB∽Rt△DCA ∴ ∴n=2(m-2); 又點C(m,n)在 ∴ ∴m=2或m=10;當m=2時,n=0,當m=10時,n=16 (7分) ∴符合條件的點C的坐標為(2,0)或(10,16) (8分) (3)依題意得,點C(2,0)不符合條件,∴點C為(10,16) 此時 又點P在函數(shù) ∴ ∵ ∴當t≥0時,S=t,∴1﹤t﹤21 (11分) ∴當t﹤0時,S=-t,∴-21﹤t﹤-1 ∴t的取值范圍是:1﹤t﹤21或-21﹤t﹤-1 (12分) t=0,1,17 (14分) |
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