Question

【題目】數學課上林老師出示了問題：如圖，AD∥BC，∠AEF=90°，AD=AB=BC=DC，∠B=90°，點E是邊BC的中點，且EF交∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF．

同學們作了一步又一步的研究：

（1）經過思考，小明展示了一種解題思路：如圖1，取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF，小明的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（2）小穎提出一個新的想法：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（3）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立．小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）正確．理由如下：

取AB的中點M，連接ME，

則AM=BM=AB，

∵AD=AB=BC=DC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∵∠B=90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∴∠DCG=90°，

∵CF平分∠DCG，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=90°+45°=135°，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∵點E是邊BC的中點，

∴BE=EC=BC，

∴AM=EC=BM=BE，

∴△BME是等腰直角三角形，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=135°=∠ECF，

在△AME和△ECF中，，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE=EF

（2）正確．理由如下：在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME．

∵AB=BC，AM=EC，

∴BM=BE．

∴∠BME=45°．

∴∠AME=135°．

∵CF是外角平分線，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=135°．

∴∠AME=∠ECF．

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF．

在△AME和△ECF中，，

∴△AME≌△BCF．

∴AE=EF．

（3）正確．理由如下：在BA的延長線上取一點N，使AN=CE，連接NE．

∵AB=BC，AN=CE，

∴BN=BE．

∴∠N=∠FCE=45°．．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BE．

∴∠DAE=∠BEA．

∴∠NAE=∠CEF．

在△ANE和△ECF中，，

∴△ANE≌△ECF（ASA）．

∴AE=EF．