Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF＝BD，連接BF．

（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；

（2）如果AB＝AC，試判斷四邊形AFBD是什么四邊形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）∵AF∥BC，∴∠EAF=∠EDC，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，在△EAF和△EDC中，∵∠EAF=∠EDC，AE=DE，∠AEF=∠DEC，∴△EAF≌△EDC（ASA），∴DC=AF，又∵AF=BD，∴BD=DC，∴D是BC的中點(diǎn)；

（2）矩形，理由是：

∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形

∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，

∴四邊形AFBD是矩形．

【解析】

試題分析：（1）利用△AEF≌△DEC來證；

（2）利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得出四邊形AFBD是平行四邊形，進(jìn)而得出四邊形AFBD是矩形．

試題解析：（1）∵AF∥BC，∴∠EAF=∠EDC，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，在△EAF和△EDC中，∵∠EAF=∠EDC，AE=DE，∠AEF=∠DEC，∴△EAF≌△EDC（ASA），∴DC=AF，又∵AF=BD，∴BD=DC，∴D是BC的中點(diǎn)；

（2）四邊形AFBD是矩形．理由是：

∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形

∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，

∴四邊形AFBD是矩形．

【難度】一般