Question

【發(fā)現(xiàn)】

如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點(diǎn)D在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上（如圖①）

【思考】

如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點(diǎn)C，D在AB的同側(cè)），那么點(diǎn)D還在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上嗎？

    

小明嘗試用反證法：如圖③，過A、B、C三點(diǎn)作圓，圓心為O，假設(shè)點(diǎn)D在圓O外，設(shè)AD交圓O于點(diǎn)E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，又由∠AEB是△BDE的一個(gè)外角，得∠AEB＞∠ADB，因此∠ACB＞∠ADB，就與條件∠ACB=∠ADB相矛盾，所以點(diǎn)D不在圓O外。

點(diǎn)D可能在⊙O內(nèi)嗎？，請(qǐng)你補(bǔ)全小明的解題過程（畫出示意圖）并給出你的結(jié)論。

【應(yīng)用】

利用【發(fā)現(xiàn)】和【思考】中的結(jié)論解決問題：

（1）如圖④，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E為BC上的任一點(diǎn)，AE⊥EF，EF交∠BCD的外角平分線于點(diǎn)F．求證：EA=EF.

（2）如圖⑤，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm².P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.求OP長(zhǎng)度

   

    圖④                        圖⑤

Answer 1

解：【思考】如圖1，假設(shè)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，

∵∠ADE是△BDE的外角，

∴∠ADB＞∠AEB，

∴∠ADB＞∠ACB，

因此，∠ADB＞∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾，------------2分

所以點(diǎn)D也不在⊙O內(nèi)，

所以點(diǎn)D即不在⊙O內(nèi)，也不在⊙O外，點(diǎn)D在⊙O上；------------3分

【應(yīng)用】

（1）連接AC  AF------------4分

∵正方形ABCD

∴∠ACB=∠ACD=45°   ∠DCG=90°

∵CF平分∠DCG

∴ ∠DCF=45°

∴ ∠ACF=90°

∵ ∠AEF=∠ACF=90°

∴  A，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓------------6分

∴ ∠AFE=∠ACB=45°

∴ EA=EF------------7分

（2）如圖連接OA，OB，
∵正方形ABCD的中心為O，∠OPB=45°，
∴∠OAB=∠OPB=45°，∠OBA=45°，OA=OB
∴O，P，A，B四點(diǎn)共圓，      ------------8分
∴∠APB=∠AOB=180°-45°-45°=90°，
在△PAB中由勾股定理得：PA²+PB²=AB²=1989，
由于PA：PB=5：14，
設(shè)PA=5x，PB=14x，
（5x）²+（14x）²=1989，
解得：x=3，
∴PB=14x=42．------------10分

   作OE⊥OP交PB于點(diǎn)E

∴OP=OE  

∵ ∠AOB=∠POE=90°

∴∠POA=∠EOB

∴△OPA≌△OEB

∴AP=BE=15

∴PE=PB-BE=27

∴OP=×27=------------12分