Question

【題目】問題背景：“半角問題”：

（1）如圖：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探究圖中線段EF，BE，FD之間的數(shù)量關(guān)系．

小明同學探究此“半角問題”的方法是：延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是　 　；（直接寫結(jié)論，不需證明）

探索延伸：當聰明的你遇到下面的問題該如何解決呢？

（2）若將（1）中“∠BAD=120°，∠EAF=60°”換為∠EAF=∠BAD．其它條件不變。如圖1，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，請直接寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）

（4）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，試問線段EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)提示步驟及結(jié)論直接得出EF=BE+DF；

（2）可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換．延長EB到G，使BG=DF，連接AG．目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF轉(zhuǎn)換成GE，那么這樣EF=BE+DF了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵．三角形ABE和AEF中，只有一條公共邊AE，我們就要通過其他的全等三角形來實現(xiàn)，在三角形ABG和AFD中，已知了一組直角，BG=DF，AB=AD，因此兩三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就構(gòu)成了三角形ABE和AEF全等的所有條件（SAS），那么就能得出EF=GE了．

（3）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過證明三角形ABG和ADF全等中，證明∠ABG=∠ADF時，用到的等角的補角相等，其他的都一樣．因此與（1）的結(jié)果完全一樣．

（4）按照之前的思路，我們應該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應該在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．

試題解析：

（1）EF=BE+FD．

（2）如圖所示：延長EB到G，使BG=DF，連接AG．

∵在△ABG與△ADF中，

∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD，

∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
易證△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD；

（3）EF=BE+FD；

（4）結(jié)論EF=BE+FD不成立，應當是EF=BE-FD．
證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，如圖所示：

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵在△ABG與△ADF中，

∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
易證△AEG≌△AEF．
∴EG=EF，
∵EG=BE-BG，
∴EF=BE-FD．