Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，AM為邊BC上的中線，動點D在直線AM上，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，設直線BE與直線AM的交點為O．

（1）如圖1，點D在線段AM上時，填空：

①線段AD與BE的數(shù)量關系是　 　②∠AOB的度數(shù)是　 　．

（2）如圖2，當動點D在線段MA的延長線上時，試判斷（1）中的結論是否成立？若成立，請給予證明：若不成立，請寫出新的結論，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①AD＝BE；②60°；（2）成立，理由見解析

【解析】

（1）①證明△ACD≌△BCE即可．

②先證明∠CAM=30°，由△ACD≌△BCE得∠OBM=∠CAM=30°，由此即可解決問題．

（2）結論不變．證明方法類似（1）．

（1）∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

故答案為：AD＝BE；

②∵BM＝CM，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，

∴∠AMC＝∠MBO＝90°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠OBM＝∠CAM＝30°，

∵∠OBM+∠BOM＝90°

∴∠AOB＝60°；

故答案為：60°；

（2）（1）中的結論成立，理由如下：

∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵BM＝CM，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，

∴∠AMC＝∠MBO＝90°，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，

∴∠OBM＝∠CAM＝30°，

∴∠AOB＝90°﹣∠OBM＝60°．