Question

【題目】如圖，已知頂點(diǎn)為的拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，且．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求二次函數(shù)的解析式；

（3）作直線，問拋物線上是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0)；（2）二次函數(shù)的解析式為；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）由條件可知OC＝6，根據(jù)OB＝OC，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋b，求出a，b的值，即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)題意，分M在BC上方和下方兩種情況進(jìn)行解答，畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：（1）∵C(0，－6)

∴

∵

∴

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0)

（2）∵拋物線（≠0）經(jīng)過點(diǎn)C(0，－6)和點(diǎn)B(6，0)，

∴，解得

∴該二次函數(shù)的解析式為

（3）存在

①若點(diǎn)M在BC上方，設(shè)MC交軸于點(diǎn)D，則∠ODC=45°+15°=60°．

∴∠OCD=30°.

∴設(shè)OD=，則CD=2.

∵在Rt△OCD中，∠COD=90°，OC=6，

∴,

即，

解得（舍），.

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，0).

設(shè)直線DC的函數(shù)解析式為

∴，解得

∴直線DC的函數(shù)解析式為

∴，解得（舍），

∴(,12)

②若點(diǎn)M在BC下方，設(shè)MC交軸于點(diǎn)E，則∠OEC=45°－15°=30°．

∵OC=6，則CE=12.

∵在Rt△OCE中，∠COE=90°，

∴=108,∴.

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，0).

設(shè)直線EC的函數(shù)解析式為，

∴，解得

∴直線EC的函數(shù)解析式為

∴，解得（舍），.

∴

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或.