Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，連接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PE，則PD+PE的長(zhǎng)度最小值為_____．

Answer 1

【答案】4﹣4．

【解析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC＝90°，推出∠BEC＝90°，得到點(diǎn)E在以BC為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AB對(duì)稱的正方形AFGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接FO交AB于P，交⊙O于E，則線段EF的長(zhǎng)即為PD+PE的長(zhǎng)度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠CBE＝90°，

∵∠ABE＝∠BCE，

∴∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∴點(diǎn)E在以BC為直徑的半圓上移動(dòng)，

如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AB對(duì)稱的正方形AFGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，

連接FO交AB于P，交半圓O于E，則線段EF的長(zhǎng)即為PD+PE的長(zhǎng)度最小值，OE＝4，

∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝8，

∴OG＝12，

∴OF＝＝4，

∴EF＝4﹣4，

∴PD+PE的長(zhǎng)度最小值為4﹣4，

故答案為：4﹣4．