Question

如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標（3，3），將正方形ABCO繞點A順時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的

延長線交線段BC于點P，連AP、AG．

（1）求證：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度數；并判斷線段OG、PG、BP之間的數量關系，說明理由；

（3）當∠1=∠2時，求直線PE的解析式．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP，理由見解析（3）y=x﹣1

【解析】解：（1）證明：∵∠AOG=∠ADG=90°，

∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，

∴△AOG≌△ADG（HL）。

（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP。理由如下：

由（1）同理可證△ADP≌△ABP，則∠DAP=∠BAP。

∵由（1）△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG。

又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，

∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°。∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。

∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP。

∴PG=DG+DP=OG+BP。

（3）∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD。

又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。

在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，

∴G點坐標為：（，0），CG=3﹣。

在Rt△PCG中，PC=，∴P點坐標為：（3，）。

設直線PE的解析式為y=kx+b，

則，解得。

∴直線PE的解析式為y=x﹣1。

（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可證△AOG≌△ADG。

（2）利用（1）的方法，同理可證△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度數；根據兩對全等三角形的性質，可得出線段OG、PG、BP之間的數量關系。

（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，當∠1=∠2時，可證∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，確定P、G兩點坐標，得出直線PE的解析式。