Question

【題目】（1）如圖1，是上一動(dòng)點(diǎn)，是外一點(diǎn)，在圖中作出最小時(shí)的點(diǎn)．

（2）如圖2，中，，，，以點(diǎn)為圓心的的半徑是，是上一動(dòng)點(diǎn)，在線段上確定點(diǎn)的位置，使的長(zhǎng)最小，并求出其最小值．

（3）如圖3，矩形中，，，以為圓心，為半徑作，為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為直角邊作，，，試探究四邊形的面積是否有最大或最小值，如果有，請(qǐng)求出最大或最小值，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）過(guò)做于，，交于，這時(shí)最短，最短為；（3）有最大值和最小值，四邊形面積最大值是，最小值是．

【解析】

（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接OP與圓交于一點(diǎn)，這點(diǎn)便是要求的A點(diǎn)；

（2）如圖，過(guò)做于，，交于，這時(shí)最短，分別在線段，上任取點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，根據(jù)垂線段最短，可得最短．然后利用勾股定理和面積相等求得PQ和BP的值；

（3）如圖取AB的中點(diǎn)G，連接FG，FC，GC,由△FAG∽△EAD，推出FG: DE=AF: AE=1: 3,因?yàn)?/span>DE=3，可得FG=1,推出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心1為半徑的圓，當(dāng)GH⊥AC于H交⊙G于F ,GH的反向延長(zhǎng)線于⊙G交于F,再利用(2)的結(jié)論可知，HF或HF為△AFC的AC邊上的高，HF最小，HF最大，由此可得△ACF面積最小，推出四邊形的面積最小，通過(guò)求解得出最小面積；同理可得△ACF面積最大，推出四邊形的最大面積，即可解決問(wèn)題.

（1）連接線段交于，點(diǎn)即為所求；

證明:如圖1延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)B,顯然PB> PA.

如圖2,在⊙O上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)A，B不重合) ,連結(jié)PC，OC.
∵PO<PC+OC,
且PO= PA+OA，0A=0C, ∴ PA<PC
∴ PA長(zhǎng)是點(diǎn)P與⊙O上各點(diǎn)之間的最短距離.
由此可得：圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)之間的最短距離是這點(diǎn)到圓心的距離與半徑的差.

（2）過(guò)做于，，交于，這時(shí)最短．

理由：如圖3，分別在線段，上任取點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，由于，根據(jù)垂線段最短，，，又，所以，即最短．

在中，

，，

，這時(shí)．

當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)米處時(shí)，長(zhǎng)最短是．

（3）的面積有最大和最小值．

如圖4，取的中點(diǎn)，連接，．，，

，，，又，，，

，

，，

，，，

點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

連接，則的面積

過(guò)做于，交于，反向延長(zhǎng)線交于，

①當(dāng)在時(shí)，面積最�。�理由：由（2）知，當(dāng)在時(shí)，最短，這時(shí)的邊上的高最小，所以面積有最小值，

在中，，

在中，，

面積有最小值是；

四邊形面積最小值是；

②當(dāng)在時(shí)，最大理由：在上任取異于點(diǎn)的點(diǎn)，作于，作于，連接，則四邊形是矩形，，

在中，，，又，，即所以是的邊上的最大高，所以面積有最大值，

面積有最大值是；

四邊形面積最大值是

綜上所述，四邊形面積最大值是，最小值是．