Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與坐標軸交于點A，B，D，頂點為E，以AB為直徑畫半圓交y正半軸交于點C，圓心為M，P是半圓上的一動點，連接EP．①點E在⊙M的內(nèi)部；②CD的長為；③若P與C重合，則∠DPE＝15°；④在P的運動過程中，若AP＝ ，則PE＝⑤N是PE的中點，當P沿半圓從點A運動至點B時，點N運動的路徑長是2π．其中結(jié)論正確的是______________

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①ME=2=AM，∴E應(yīng)該在⊙M上，即可求解；

②CD=2×=3，故CD的長為

③過點D作DH⊥ME，由DH=1，MD=R=2，故∠DME=30°，則∠DPE=15°，即可求解；

④ AK=AEsinα=2×=，同理EK=,則PK=,即可求解；

⑤點N的運動軌跡為以R為圓心的半圓，則N運動的路徑長=×2πr=π,

解：拋物線的圖象與坐標軸交于點A，B，D，

則點A、B、D的坐標分別為：（-1，0）、（3，0）、（0，-），則點M（1，0），
頂點E的坐標為：（1，-2），AB=4，CO=，OD=，故點D不在⊙M上；
①ME=2=AM，∴E應(yīng)該在⊙M上，故不符合題；
②C是圓M與y軸交點，圓M半徑為2，M（1，0）由勾股定理得OC=，
CD=2×=3，故CD的長為，符合題意；
③如圖1，連接DP、ME，點D、E均在⊙M上，

過點D作DH⊥ME于H，
∵DH=1，MD=R=2，
故∠DME=30°，則∠DPE=15°，符合題意；
④如圖2，連接PB、PA、AE，
∵點B、E均在圓上，則∠ABP=∠AEP=α，
sin∠AEP=sin∠ABP==sinα，則cosα=，

過點A作AK垂直于PE于K，則AK=AEsinα=2×=，EK=AEcosα═，則PK=AK=，故則PE=，符合題意；
⑤如圖3，圖中實點G、N、M、F是點N運動中所處的位置，

則GF是等腰直角三角形的中位線，GF=AB=2，ME交AB于點R，則四邊形GEFM為正方形，當點P在半圓任意位置時，中點為N，連接MN，則MN⊥PE，連接NR，
則NR=ME=MR=RE=RG=RF=GF=1，則點N的運動軌跡為以R為圓心的半圓，則N運動的路徑長=×2πr=π，故不符合題意；
故答案為：②③④．