Question

【題目】在△ABC中，點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（不同于A、B、C），若點(diǎn)P與A、B、C中的某兩點(diǎn)的連線的夾角為直角時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的一個(gè)勾股點(diǎn).

（1）如圖1，若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠A=55°，∠ABP=10°，∠ACP=25°，試說(shuō)明點(diǎn)P是△ABC的一個(gè)勾股點(diǎn)；

（2）如圖2，等腰△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AD上，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出使得點(diǎn)P是△ABC的勾股點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的位置；

（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線CD上.若點(diǎn)P是△ABC的勾股點(diǎn)，請(qǐng)求出CP的長(zhǎng)；

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)7.2或12.8或20．

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，證得∠CPB＝90°即可；

（2）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)以及勾股點(diǎn)的定義進(jìn)行解答即可；

（3）分情況討論：①∠APC＝90°時(shí)．②當(dāng)∠CPB＝90°時(shí)．③當(dāng)∠APB＝90°時(shí)．分別求解即可．

解：（1）在△ABC中，∠A＝55°，

∴∠ACB+∠ABC＝125°．

∵∠ACP＝10°，∠ABP＝25°，

∴∠PCB+∠PBC＝90°．

∴∠CPB＝90°，

∴點(diǎn)P是△ABC的一個(gè)勾股點(diǎn)．

（2）如圖，點(diǎn)P1，P2，P3即為所求．

（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．

∴AB＝20，

又∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴AD＝BD＝CD＝10，

①∠APC＝90°時(shí)，設(shè)CP＝x，DP＝10﹣x，

在Rt△APC和Rt△APD中，

∵AC2﹣CP2＝AD2﹣DP2，即：122﹣x2＝102﹣（10﹣x）2，

解得：x＝7.2．

②當(dāng)∠CPB＝90°時(shí)，設(shè)CP＝x，DP＝x﹣10，

在Rt△BPD和Rt△BPC中，∵BC2﹣CP2＝BD2﹣DP2，即162﹣x2＝102﹣（x﹣10）2，

解得：x＝12.8．

③當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，

在Rt△APB中，DP＝AB＝10，

∴CP＝20

綜上所述，CP的長(zhǎng)為7.2或12.8或20．