Question

16．某文具專賣店專銷某種品牌的鋼筆，進(jìn)價(jià)12元/支，售價(jià)20元/支，為了促銷，專賣店決定：凡是一次性購買超過10支的，每超過一支，所購鋼筆每支售價(jià)就降低0.20元，但是每支售價(jià)不能低于16元，如圖線段AB和BC是購買鋼筆的單價(jià)y（元/支）與購買數(shù)量x（支）的函數(shù)圖象的一部分．
（1）顧客要想以最低價(jià)購買，需要一次至少購買30支（填最后結(jié)果）；
（2）當(dāng)顧客一次購買x支時(shí)，求專賣店的利潤w（元）與購買數(shù)量x（支）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求顧客一次購買多少支時(shí)，專賣店的利潤是123.2元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“凡是一次性購買超過10支的，每超過一支，所購鋼筆每支售價(jià)就降低0.20元，但是每支售價(jià)不能低于16元”即可算出最少購買多少支時(shí)，價(jià)格為最低價(jià)；
（2）分0＜x≤10、10＜x≤30以及x＞30三種情況考慮，根據(jù)“利潤=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×購買數(shù)量”即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分別算出（2）中①的最大值以及③的最小值，即可得知專賣店的利潤是123.2元時(shí)，只能是（2）中第②種情況，代入數(shù)據(jù)得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）（20-16）÷0.2+10=30（支），
故答案為：30．
（2）購買數(shù)量x決定利潤w（元）與購買數(shù)量x（支）的函數(shù)關(guān)系式，有3種情況：
①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，w=（20-12）x=8x；
②當(dāng)10＜x≤30時(shí)，w=[20-0.2（x-10）-12]x=-0.2x²+10x；
③當(dāng)x＞30時(shí)，w=（16-12）x=4x．
綜上所述：w=$\left\{\begin{array}{l}{8x（0＜x≤10）}\\{-0.2{x}^{2}+10x（10＜x≤30）}\\{4x（x＞30）}\end{array}\right.$．
（3）∵當(dāng)x=31時(shí)，w=124，124＞123.2；當(dāng)x=10時(shí)，w=80，80＜123.2，
∴專賣店的利潤是123.2元時(shí)，只能是（2）中第②種情況．
故-0.2x²+10x=123.2，即x²-50x+616=0，
解得：x₁=22，x₂=28．
答：顧客一次購買22支或28支時(shí)，專賣店的利潤是123.2元．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式計(jì)算；（2）分0＜x≤10、10＜x≤30以及x＞30三種情況考慮，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式；（3）代入數(shù)據(jù)得出關(guān)于x的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出算式（函數(shù)關(guān)系式或方程）是關(guān)鍵．