Question

已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點E，Q，F(xiàn)；當直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PF，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：

（1）當t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？

（2）設(shè)四邊形APFE的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時刻t，使S_{四邊形APFE}：S_菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此時P，E兩點間的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．

在Rt△AOB中，AB==10．

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴=．

即=，

∴DF=t．

∵四邊形APFD是平行四邊形，

∴AP=DF．

即10﹣t=t，

解這個方程，得t=．

∴當t=s時，四邊形APFD是平行四邊形．

（2）如圖，過點C作CG⊥AB于點G，

∵S_菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，

即10•CG=×12×16，

∴CG=．

∴S_梯形APFD=（AP+DF）•CG

=（10﹣t+t）•=t+48．

∵△DFQ∽△DCO，

∴=．

即=，

∴QF=t．

同理，EQ=t．

∴EF=QF+EQ=t．

∴S_△EFD=EF•QD=×t×t=t²．

∴y=（t+48）﹣t²=﹣t²+t+48．

（3）如圖，過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，

若S_{四邊形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，

則﹣t²+t+48=×96，

即5t²﹣8t﹣48=0，

解這個方程，得t₁=4，t₂=﹣（舍去）

過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，

當t=4時，

∵△PBN∽△ABO，

∴==，即==．

∴PN=，BN=．

∴EM=EQ﹣MQ==．

PM=BD﹣BN﹣DQ==．

在Rt△PME中，

PE===（cm）．