Question

【題目】

如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），B（7，0），D（0，） 三點(diǎn)，以AB為邊在x軸上方作等邊三角形ABC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線x軸上方是否存在點(diǎn)M，使S△ABM =S△ABC，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，AF與BE相交于點(diǎn)P.

①若CE=BF，試猜想AF與BE的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出∠APB的度數(shù)；

②若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E由A運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2-2x+．（2）M1（9，4），M2（-1，4）．（3）①AF=BE，∠APB=120°．

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)出拋物線的解析式，然后將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸，垂足為K．先求得三角形ABC的面積，從而得到△ABM的面積，依據(jù)三角形的面積公式可求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，由點(diǎn)M在拋物線可知可知y=4，從而可求得對(duì)應(yīng)的x的值，于是得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）①先證明依據(jù)SAS△BEC≌△AFB，由全等三角形的性質(zhì)可得到AF=BE，接下來(lái)證明∠FAB+∠ABP=∠ABC，最后依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠APB的度數(shù)；②如圖3所示：設(shè)所在圓的圓心為M，點(diǎn)H在圓M上，連接AM、BM、AH、BH，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AB，垂足為G．依據(jù)圓的內(nèi)角四邊形的性質(zhì)和圓周角定理可求得∠AMB的長(zhǎng)，接下來(lái)，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到AG=3，∠AMG=60°，然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長(zhǎng)，最后依據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式求解即可；如圖4所示：當(dāng)AE=BF時(shí)．依據(jù)SAS可證明△AEB≌△BAF，從而得到∠PAB=∠PBA，故此可知點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，最后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)求得CN的長(zhǎng)即可．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+．

∵將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入得：，解得：a=，b=-2，

∴拋物線的解析式為y=x2-2x+．

（2）存在點(diǎn)M使得S△AMB=S△ABC．

如圖1所示：過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸，垂足為K．

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．

∵CK⊥AB，

∴KA=BK=3，∠ACK=60°．

∴CK=3．

∴S△ABC=ABCK=×6×3=9．

∴S△ABM=×9=12．

設(shè)M（x，x2-2x+）．

∴AB|yM|=12，即×6×（x2-2x+）=12．

解得x1=9，x2=-1．

∴M1（9，4），M2（-1，4）．

（3）①AF=BE，∠APB=120°．

理由：如圖2所示；

∵△ABC為等邊三角形，

∴BC=AB，∠C=∠ABF．

∵在△BEC和△AFB中

，

∴△BEC≌△AFB．

∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．

∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．

∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-60°=120°．

②如圖3所示：當(dāng)CE=FB時(shí)．

∵由①可知：∠APB=120°，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條弧．

設(shè)所在圓的圓心為M，點(diǎn)H在圓M上，連接AM、BM、AH、BH，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AB，垂足為G．

∵∠APB=120°，

∴∠AHB=60°．

∴∠AMB=120°．

∵AM=MB，MG⊥AB，

∴AG=BG=3，∠AMG=∠BMG=60°．

∴，即．

∴AM=2．

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑=．

如圖4所示：當(dāng)AE=BF時(shí)．

∵在△ABE和△BAF中

，

∴△ABE≌△BAF．

∴AF=EB，∠FAB=∠EBA．

∴AP=BP．

∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線=NC=3．

∴點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為或3．