Question

【題目】一個(gè)三位自然數(shù)m，將它任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得一個(gè)首位不為0 的新三位自然數(shù) m’（ m’可以與m相同），記m’=，在 m’ 所有的可能情況中，當(dāng)|a+2b-c| 最小時(shí)，我們稱此時(shí)的m’ 是m 的“幸福美滿數(shù)”，并規(guī)定K (m) = a2 +2b2 -c2．例如：318按上述方法可得新數(shù)有：381、813 、138 ；因?yàn)?/span>|3+28－1｜＝ 18 ，｜8+ 21－3｜＝7，｜1 +23－8｜＝1，1< 7<18 ，所以138 是318的“幸福美滿數(shù)”，K(318)=|12+232－82|=－45．

（1）若三位自然數(shù)t的百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字都為n（1≤n ≤ 9 ，n為自然數(shù)），個(gè)位上的數(shù)字為0 ，求證：K (t )＝ 0；

（2）設(shè)三位自然數(shù)s＝100+10x + y(1≤ x ≤ 9,1≤y≤9, ,x y 為自然數(shù)) ，且x<y ．交換其個(gè)位與十位上的數(shù)字得到新數(shù)s’，若19s+8s’=3888，那么我們稱s為“夢(mèng)

想成真數(shù)”，求所有“夢(mèng)想成真數(shù)”中K (s )的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）所有“夢(mèng)想成真數(shù)”中K（s）的最大值為-17．

【解析】分析：（1）根據(jù)案例找出t變化后得到的新數(shù)，驗(yàn)證后即可得出

是t的“幸福美滿數(shù)”．進(jìn)而即可得出
（2）根據(jù)題意找出結(jié)合 即可得出根據(jù)即可得出的可能值，進(jìn)而可找出s的“幸福美滿數(shù)”和的值，取其最大值即可．

詳解：(1)證明：按上述方法可得新數(shù)，

∵|n+2n0|=3n，|n+2×0n|=0，0<3n，

∴是t的“幸福美滿數(shù)”.

∴

(2)根據(jù)題意得：

∵19s+8s′=3888，

∴19×(100+10x+y)+8×(100+10y+x)=3888，即2x+y=12.

∵

∴x=2，y=8；x=3，y=6.

∴s=128或s=136.

∵128是128的“幸福美滿數(shù)”，136和316是136的“幸福美滿數(shù)”，

∴K(s)=55、17或25.

∴所有“夢(mèng)想成真數(shù)”中K(s)的最大值為17.