【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過△ABC的三個頂點,與y軸相交于(0, ),點A坐標為(-1,2),點B是點A關(guān)于y軸的對稱點,點C在x軸的正半軸上.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點F為線段AC上一動點,過點F作FE⊥x軸,F(xiàn)G⊥y軸,垂足分別為點E,G,當四邊形OEFG為正方形時,求出點F的坐標;
(3)將(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG,當點E和點C重合時停止運動,設平移的距離為t,正方形的邊EF與AC交于點M,DG所在的直線與AC交于點N,連接DM,是否存在這樣的t,使△DMN是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:∵點B是點A關(guān)于y軸的對稱點,
∴拋物線的對稱軸為y軸,
∴拋物線的頂點為(0, ),
故拋物線的解析式可設為y=ax2+ .
∵A(﹣1,2)在拋物線y=ax2+ 上,
∴a+ =2,
解得a=﹣ ,
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式為y=﹣ x2+
(2)解:①當點F在第一象限時,如圖1,
令y=0得,﹣ x2+ =0,
解得:x1=3,x2=﹣3,
∴點C的坐標為(3,0).
設直線AC的解析式為y=mx+n,
則有 ,
解得 ,
∴直線AC的解析式為y=﹣ x+ .
設正方形OEFG的邊長為p,則F(p,p).
∵點F(p,p)在直線y=﹣ x+ 上,
∴﹣ p+ =p,
解得p=1,
∴點F的坐標為(1,1).
②當點F在第二象限時,
同理可得:點F的坐標為(﹣3,3),
此時點F不在線段AC上,故舍去.
綜上所述:點F的坐標為(1,1)
(3)解:過點M作MH⊥DN于H,如圖2,
則OD=t,OE=t+1.
∵點E和點C重合時停止運動,∴0≤t≤2.
當x=t時,y=﹣ t+ ,則N(t,﹣ t+ ),DN=﹣ t+ .
當x=t+1時,y=﹣ (t+1)+ =﹣ t+1,則M(t+1,﹣ t+1),ME=﹣ t+1.
在Rt△DEM中,DM2=12+(﹣ t+1)2= t2﹣t+2.
在Rt△NHM中,MH=1,NH=(﹣ t+ )﹣(﹣ t+1)= ,
∴MN2=12+( )2= .
①當DN=DM時,
(﹣ t+ )2= t2﹣t+2,
解得t= ;
②當ND=NM時,
﹣ t+ = ,
解得t=3﹣ ;
③當MN=MD時,
= t2﹣t+2,
解得t1=1,t2=3.
∵0≤t≤2,∴t=1.
綜上所述:當△DMN是等腰三角形時,t的值為 ,3﹣ 或1.
【解析】(1)根據(jù)題意可知拋物線的對稱軸是y軸以及頂點為(0,94),可設拋物線解析式為y=ax2+94,利用待定系數(shù)法將A點坐標代入求出a,進而可得到拋物線解析式。
(2)由于點F為AC上一動點,因此要對點F的位置分為①當點F在第一象限;②當點F在第二象限兩種情況進行討論。先根據(jù)題意可求出直線AC的函數(shù)解析式,再設OEFG的邊長為p,則F(p,p),由于點F為AC上一點,那么只要將點F代入AC的解析式中即可求出點F的坐標,注意在求得F的坐標后要驗證其是否在線段AC上。
(3)過點MH⊥DN于H,根據(jù)據(jù)題意可得0≤t≤2,然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2,分三種情況(①DN=DM,②ND=NM,③MN=MD)建立方程,解方程討論就可求出△DMN是等腰三角形時t的值。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解因式分解法的相關(guān)知識,掌握已知未知先分離,因式分解是其次.調(diào)整系數(shù)等互反,和差積套恒等式.完全平方等常數(shù),間接配方顯優(yōu)勢,以及對確定一次函數(shù)的表達式的理解,了解確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延長AD到E,使DE=AB.
(1)求證:∠ABC=∠EDC;
(2)求證:△ABC≌△EDC.
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【題目】填空,完成下列說理過程
如圖,點A,O,B在同一條直線上, OD,OE分別平分∠AOC和∠BOC.
(1)求∠DOE的度數(shù);
(2)如果∠COD=65°,求∠AOE的度數(shù).
解:(1)如圖,因為OD是∠AOC的平分線,
所以∠COD =∠AOC.
因為OE是∠BOC 的平分線,
所以 =∠BOC.
所以∠DOE=∠COD+ =(∠AOC+∠BOC)=∠AOB= °.
(2)由(1)可知∠BOE=∠COE = -∠COD= °.
所以∠AOE= -∠BOE = °.
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【題目】對于點P(a,b),點Q(c,d),如果a﹣b=c﹣d,那么點P與點Q就叫作等差點.例如:點P(4,2),點Q(﹣1,﹣3),因4﹣2=1﹣(﹣3)=2,則點P與點Q就是等差點.如圖在矩形GHMN中,點H(2,3),點N(﹣2,﹣3),MN⊥y軸,HM⊥x軸,點P是直線y=x+b上的任意一點(點P不在矩形的邊上),若矩形GHMN的邊上存在兩個點與點P是等差點,則b的取值范圍為_____.
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【題目】已知,在四邊形ABCD中,點E、點F分別為AD、BC的中點,連接EF.
(1)如圖1,AB∥CD,連接AF并延長交DC的延長線于點G,則AB、CD、EF之間的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)如圖2,∠B=90°,∠C=150°,求AB、CD、EF之間的數(shù)量關(guān)系?
(3)如圖3,∠ABC=∠BCD=45°,連接AC、BD交于點O,連接OE,若AB=,CD=2,BC=6,則OE= .
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【題目】如圖1,在中,平分,平分.
(1)若,則的度數(shù)為______;
(2)若,直線經(jīng)過點.
①如圖2,若,求的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示);
②如圖3,若繞點旋轉(zhuǎn),分別交線段于點,試問在旋轉(zhuǎn)過程中的度數(shù)是否會發(fā)生改變?若不變,求出的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示),若改變,請說明理由:
③如圖4,繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線,與線段交于點,與的延長線交于點,請直接寫出與的關(guān)系(用含的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖1,直線m與直線n垂直相交于O,點A在直線m上運動,點B 在直線n上運動,AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線.
(1)求∠ACB的大小;
(2)如圖2,若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分線,BD與AC相交于點D,點A、B在運動的過程中,∠ADB的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值;
(3)如圖3,過C作直線與AB交于F,且滿足∠AGO-∠BCF=45°,求證:CF∥OB.
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【題目】某地區(qū)林業(yè)局要考察一種樹苗移植的成活率,對該地區(qū)這種樹苗移植成活的情況進行調(diào)查統(tǒng)計,并繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖,根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解決下列問題:
(1)這種樹苗成活的頻率穩(wěn)定在___________,成活的概率估計值為___________.
(2)該地區(qū)已經(jīng)移植這種樹苗5萬棵.
①估計這種樹苗成活___________萬棵.
②如果該地區(qū)計劃成活18萬棵這種樹苗,那么還需移植這種樹苗約多少萬棵?
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