Question

【題目】如圖，在中，，，，點為邊上一點，且．點從點出發(fā)．沿射線以每秒1個單位長度的速度運動．以、為鄰邊作．設和重疊部分圖形的面積為（平方單位），點的運動時間為（秒）．

（1）連結(jié)，求的長．

（2）當為菱形時，求的值．

（3）求與之間的函數(shù)關系式．

（4）將線段沿直線翻折得到線段．當點落在的邊上時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．

【解析】

（1）如圖（見解析），先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)平行線的判定得出，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，，最后在中利用勾股定理即可得；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，求解即可得；

（3）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，再找出兩個臨界位置：當點P運動至點F時和當點P運動至點A時，然后分別根據(jù)平行四邊形、直角梯形的面積公式即可得；

（4）分①點落在AB邊上和②點落在BC邊上兩種情況，①先利用折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等量代換得出，從而可得，最后根據(jù)菱形的判定可得平行四邊形CPDE是菱形，由（2）的結(jié)論即可得；②先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出平分，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)（1）得出，從而可得，最后根據(jù)的面積公式列出等式求解即可．

（1）如圖1，過點作于點

在中，

，

在中，

；

（2）如圖2，當平行四邊形為菱形時

由菱形的性質(zhì)得：，

又

或（不符題意，舍去）

故的值為；

（3）四邊形CPDE是平行四邊形

，即

由題意，有兩個臨界位置，即當點P運動至點F時，所需時間為（秒）；當點P運動至點A時，所需時間為（秒）

因此，分以下三種情況：

①如圖3-1，當時

②如圖3-2，當時，此時四邊形CPDG為直角梯形，

③如圖3-3，當時，此時四邊形CADG為直角梯形

綜上，與之間的函數(shù)關系式為；

（4）由題意，分以下兩種情況：

①如圖4-1，點落在AB邊上

延長CE交AB于點H

由折疊的性質(zhì)可知，，平分

（等腰三角形的三線合一）

，即

解得

在和中，

四邊形CPDE是平行四邊形

平行四邊形CPDE是菱形

由（2）可知，此時

②如圖4-2，點落在BC邊上

過點E作于點N，延長DE交BC于點M，則

由折疊的性質(zhì)可知，平分，則

由（1）可知，

解得

綜上，所求的t的值為或．