Question

如圖，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF為AB的垂直平分線交AB于E，交BC于F，DG為AC的垂直平分線，交AC于G，交BC于D，若BC=15cm，則DF長(zhǎng)為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接AF、AD，先由△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°求出∠B及∠C的度數(shù)，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BF=AF，AD=CD，∠B=∠BAF，∠C=∠CAD，由三角形外角的性質(zhì)求出∠AFD與∠ADF的度數(shù)，判斷出△AFD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得到AF=FD=AD，故AF=FD=AD=BF=CD，即3DF=BC，由BC=15cm即可求出DF的長(zhǎng)．
解答：解：連接AF、AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C===30°，
∵EF、DG分別為線段AB、AC的垂直平分線，
∴BF=AF，AD=CD，∠B=∠BAF=30°，∠C=∠CAD=30°，
∵∠AFD與∠ADF分別是△ABF與△ACD的外角，
∴∠AFD=∠B+∠BAF=30°+30°=60°，∠ADF=∠C+∠CAD=30°+30°=60°，
∴△ADF是等邊三角形，
∴AF=FD=AD，
∵BF=AF，AD=CD，BC=15cm，
∴AF=FD=AD=BF=CD，
∴3DF=BC=15，
∴DF=5cm．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)，熟知線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．