Question

【題目】已知直線l1：y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且與雙曲線y= 交于點(diǎn)C（1，a）．

（1）試確定雙曲線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將l1沿y軸翻折后，得到l2 ， 畫(huà)出l2的圖象，并求出l2的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是線段AC上點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，分別交l2于點(diǎn)M，交雙曲線于點(diǎn)N，求S△AMN的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=1代入y=x+3，

∴y=1+3=4，

∴C（1，4），

把C（1，4）代入y= 中，

∴k=4，

∴雙曲線的解析式為：y=

（2）

解：如圖所示，

設(shè)直線l2與x軸交于點(diǎn)D，

由題意知：A與D關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴D的坐標(biāo)為（3，0），

設(shè)直線l2的解析式為：y=ax+b，

把D與B的坐標(biāo)代入上式，

得： ，

∴解得： ，

∴直線l2的解析式為：y=﹣x+3

（3）

解：設(shè)M（3﹣t，t），

∵點(diǎn)P在線段AC上移動(dòng)（不包括端點(diǎn)），

∴0＜t＜4，

∴PN∥x軸，

∴N的縱坐標(biāo)為t，

把y=t代入y= ，

∴x= ，

∴N的坐標(biāo)為（ ，t），

∴MN= ﹣（3﹣t）= +t﹣3，

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PN于點(diǎn)E，

∴AE=t，

∴S△AMN= AEMN，

= t（ +t﹣3）

= t2﹣ t+2

= （t﹣ ）2+ ，

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)0≤t≤ 時(shí)，S△AMN隨t的增大而減小，當(dāng) ＜t≤4時(shí)，S△AMN隨t的增大而增大，

∴當(dāng)t= 時(shí)，S△AMN可取得最小值為 ，

當(dāng)t=4時(shí)，S△AMN可取得最大值為4，

∵0＜t＜4

∴ ≤S△AMN＜4

【解析】本題考查函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式，三角形面積等知識(shí)，由于有動(dòng)點(diǎn)，所以難度較高，需要學(xué)生利用參數(shù)去表示相關(guān)坐標(biāo)，然后求出函數(shù)關(guān)系式．（1）令x=1代入一次函數(shù)y=x+3后求出C的坐標(biāo)，然后把C代入反比例函數(shù)解析式中即可求出k的值；（2）設(shè)直線l2與x軸交于D，由題意知，A與D關(guān)于y軸對(duì)稱，所以可以求出D的坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax+b即可求出直線l2的解析式；（3）設(shè)M的縱坐標(biāo)為t，由題意可得M的坐標(biāo)為（3﹣t，t），N的坐標(biāo)為（ ，t），進(jìn)而得MN= +t﹣3，又可知在△ABM中，MN邊上的高為t，所以可以求出S△AMN與t的關(guān)系式．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和三角形的面積，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法；三角形的面積=1/2×底×高即可以解答此題．