Question

【題目】如圖，風(fēng)車的支桿OE垂直于桌面，風(fēng)車中心O到桌面的距離OE為25cm，小小風(fēng)車在風(fēng)吹動(dòng)下繞著中心O不停地轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，葉片端點(diǎn)A、B、C、D在同一圓O上，已知⊙O的半徑為10cm，

（1）風(fēng)車在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)∠AOE=30°時(shí)，求點(diǎn)A到桌面的距離.

（2）在風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，求點(diǎn)A相對(duì)于桌面的高度不超過20cm所經(jīng)過的路線長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）作A1F⊥MN于點(diǎn)F，A1G⊥OE于點(diǎn)G，在Rt△A1OG中，利用三角函數(shù)可求得OG，從而得出點(diǎn)A到桌面的距離A1F；

（2）作A2H⊥MN于H，則A2H＝20cm，作A2D⊥OE于點(diǎn)D，則DE＝A2H．在Rt△A2OD中，由特殊角的三角函數(shù)得∠A2OD＝60°，由圓的軸對(duì)稱性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°，從而得出點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長．

解：（1）如圖（1），點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A1的位置時(shí)∠AOE＝30°，作A1F⊥MN于點(diǎn)F，A1G⊥OE于點(diǎn)G，

∴A1F＝GE．

在Rt△A1OG中，

∵∠A1OG＝30°，OA1＝10cm，

∴OG＝OA1cos30°＝10×cm．

∵OE＝25 cm，

∴GE＝OEOG＝25（cm），

∴A1F＝GE＝25（cm），

答：點(diǎn)A到桌面的距離是25厘米；

（2）如圖（2），點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A2、A3的位置時(shí)，點(diǎn)A到桌面的距離等于20厘米，作A2H⊥MN于H，則A2H＝20 cm，作A2D⊥OE于點(diǎn)D，

∴DE＝A2H，

∵OE＝25 cm，

∴OD＝OEDE＝2520＝5 cm，

在Rt△A2OD中，OA2＝10 cm，

∴cos∠A2OD＝，

∴∠A2OD＝60°．

由圓的對(duì)稱性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°，

∴點(diǎn)A相對(duì)于桌面的高度不超過20cm所經(jīng)過的路線長為：cm．

答：點(diǎn)A相對(duì)于桌面的高度不超過20cm所經(jīng)過的路線長為厘米．