Question

如圖，已知⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，AC平分∠BAD，CD⊥AD于D，AD交⊙O于E．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若⊙O的直徑為8cm，CD=2cm，求弦AE的長．

　

Answer 1

【考點】切線的判定．

【分析】（1）連接OC，由等腰三角形的性質和角平分線得出∠2=∠3，證出∴OC∥AD，再由已知條件得出CD⊥OC，即可得出結論；

（2）作OF⊥AE于F，則AF=AE，四邊形OFDC是矩形，得出OF=CD=2cm，由勾股定理求出AF，即可得出AE的長．

【解答】（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

∴CD為⊙O的切線；

（2）解：作OF⊥AE于F，如圖2所示：

則AF=AE，四邊形OFDC是矩形，

∴OF=CD=2cm，

∵OA=AB=4cm，

∴AF===2，

∴AE=2AF=4．

【點評】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的判定與性質、矩形的判定與性質、垂徑定理、勾股定理等知識；本題綜合性強，熟練掌握切線的判定和垂徑定理是解決問題的關鍵．