Question

【題目】已知一次函數(shù)y＝x+1與拋物線y＝x2+bx+c交A（m，9），B（0，1）兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上且橫坐標(biāo)為6．

（1）寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q在直線AB、BC、AC距離相等，如果存在，請直接寫出所有符合條件的Q的坐標(biāo)，如果不存在，說說你的理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC為直角三角形．理由見解析；（3）符合條件的Q的坐標(biāo)為（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．

【解析】

（1）先利用一次函數(shù)解析式得到A（8，9），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）先利用拋物線解析式確定C（6，﹣5），作AM⊥y軸于M，CN⊥y軸于N，如圖，證明△ABM和△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝8 ，BN＝6，從而得到∠ABC＝90°，所以△ABC為直角三角形；

（3）利用勾股定理計(jì)算出AC＝10 ，根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算公式得到Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑＝2 ，設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，過A作AI的垂線交直線BI于P，交y軸于Q，AI交y軸于G，如圖，則AI、BI為角平分線，BI⊥y軸，PQ為△ABC的外角平分線，易得y軸為△ABC的外角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷點(diǎn)P、I、Q、G到直線AB、BC、AC距離相等，由于BI＝×2＝4，則I（4，1），接著利用待定系數(shù)法求出直線AI的解析式為y＝2x﹣7，直線AP的解析式為y＝﹣x+13，然后分別求出P、Q、G的坐標(biāo)即可．

（1）把A（m，9）代入y＝x+1得m+1＝9，解得m＝8，則A（8，9），

把A（8，9），B（0，1）代入y＝x2+bx+c得，解得，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣7x+1；

故答案為y＝x2﹣7x+1；

（2）△ABC為直角三角形．理由如下：

當(dāng)x＝6時(shí)，y＝x2﹣7x+1＝36﹣42+1＝﹣5，則C（6，﹣5），

作AM⊥y軸于M，CN⊥y軸于N，如圖，

∵B（0，1），A（8，9），C（6，﹣5），

∴BM＝AM＝8，BN＝CN＝6，

∴△ABM和△BNC都是等腰直角三角形，

∴∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝8，BN＝6，

∴∠ABC＝90°，

∴△ABC為直角三角形；

（3）∵AB＝8，BN＝6，

∴AC＝10，

∴Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑＝，

設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，過A作AI的垂線交直線BI于P，交y軸于Q，AI交y軸于G，如圖，

∵I為△ABC的內(nèi)心，

∴AI、BI為角平分線，

∴BI⊥y軸，

而AI⊥PQ，

∴PQ為△ABC的外角平分線，

易得y軸為△ABC的外角平分線，

∴點(diǎn)I、P、Q、G為△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線的交點(diǎn)，

它們到直線AB、BC、AC距離相等，

BI＝×2＝4，

而BI⊥y軸，

∴I（4，1），

設(shè)直線AI的解析式為y＝kx+n，

則，解得，

∴直線AI的解析式為y＝2x﹣7，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2x﹣7＝﹣7，則G（0，﹣7）；

設(shè)直線AP的解析式為y＝﹣x+p，

把A（8，9）代入得﹣4+n＝9，解得n＝13，

∴直線AP的解析式為y＝﹣x+13，

當(dāng)y＝1時(shí)，﹣x+13＝1，則P（24，1）

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x+13＝13，則Q（0，13），

綜上所述，符合條件的Q的坐標(biāo)為（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．