Question

【題目】如圖，正方形ABCD和正方形CGFE的頂點C，D，E在同一條直線上，頂點B，C，G在同一條直線上．O是EG的中點，∠EGC的平分線GH過點D，交BE于點H，連接FH交EG于點M，連接OH．以下四個結(jié)論：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正確的結(jié)論是（　　）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，從而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分線，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中點，利用中位線定理，得HO∥BG且HO=BG；由△EHG是直角三角形，因為O為EG的中點，所以OH=OG=OE，得出點H在正方形CGFE的外接圓上，根據(jù)圓周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，從而證得△EHM∽△GHF；設(shè)HN=a，則BC=2a，設(shè)正方形ECGF的邊長是2b，則NC=b，CD=2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出，得到，即a2+2ab-b2=0，從而求得，設(shè)正方形ECGF的邊長是2b，則EG=2b，得到HO=b，通過證得△MHO△MFE，得到，進而得到，進一步得到.

解：如圖，

∵四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，

∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，

在△BCE和△DCG中，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴∠BEC＝∠BGH，

∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，

∴∠BEC+∠HDE＝90°，

∴GH⊥BE．

故①正確；

∵△EHG是直角三角形，O為EG的中點，

∴OH＝OG＝OE，

∴點H在正方形CGFE的外接圓上，

∵EF＝FG，

∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，

∴△EHM∽△GHF，

故②正確；

∵△BGH≌△EGH，

∴BH＝EH，

又∵O是EG的中點，

∴HO∥BG，

∴△DHN∽△DGC，

設(shè)EC和OH相交于點N．

設(shè)HN＝a，則BC＝2a，設(shè)正方形ECGF的邊長是2b，則NC＝b，CD＝2a，

即a2+2ab﹣span>b2＝0，

解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），

故③正確；

∵△BGH≌△EGH，

∴EG＝BG，

∵HO是△EBG的中位線，

∴HO＝BG，

∴HO＝EG，

設(shè)正方形ECGF的邊長是2b，

∴EG＝2b，

∴HO＝b，

∵OH∥BG，CG∥EF，

∴OH∥EF，

∴△MHO△MFE，

∴，

∴EM＝OM，

∴，

∴

∵EO＝GO，

∴S△HOE＝S△HOG，

∴

故④錯誤，

故選：A．