Question

【題目】已知：點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．求證：BD=CE，BD⊥CE；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上時(shí)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．請(qǐng)畫出圖形。上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

（3）根據(jù)圖2，請(qǐng)直接寫出AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系。

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、證明過程見解析；(3)、2AD2=BD2+CD2

【解析】

試題分析：(1)、首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=45°，然后根據(jù)同角的余角相等得出∠BAD=∠CAE，從而說明△BAD和△CAE全等，得出BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°，然后根據(jù)∠BCE=∠ACB+∠ACE得出垂直；(2)、連接CE，然后根據(jù)(1)的同樣證法得出答案；(3)、根據(jù)∠EAD=90°AE=AD得出ED=AD，然后根據(jù)Rt△ECD的勾股定理得出答案.

試題解析：(1)、如圖1，∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=90°，

∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， ∴BD⊥CE；

(2)、如圖2，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．

與(1)同理可證CE=BD，CE⊥BD；

(3)、2AD2=BD2+CD2，

∵∠EAD=90°AE=AD， ∴ED=AD， 在RT△ECD中，ED2=CE2+CD2， ∴2AD2=BD2+CD2