Question

【題目】如圖，點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合)，分別以為邊在直線的同側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．

(1)求證: ；

(2)求證: ；

(3)若的長(zhǎng)為12cm，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的一點(diǎn)，使線段的長(zhǎng)度最長(zhǎng)?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)的位置并求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 見(jiàn)解析；(3) 存在,請(qǐng)確定C點(diǎn)的位置見(jiàn)解析，MN=3．

【解析】

（1）根據(jù)題意證明△DCB≌△ACE即可得出結(jié)論；

（2）由題中條件可得△ACE≌△DCB，進(jìn)而得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等邊三角形，即可得出結(jié)論；

（3）可先假設(shè)其存在，設(shè)AC=x，MN=y，進(jìn)而由平行線分線段成比例即可得出結(jié)論．

解：（1）∵△ACD與△BCE是等邊三角形，

∴AC=CD，CE=BC，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE與△DCB中，

，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴DB=AE；

（2）∵△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠BDC，
在△ACM與△DCN中，

，

∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等邊三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°
即MN∥AB；

（3）解：假設(shè)符合條件的點(diǎn)C存在，設(shè)AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，

∴，

即，

，

當(dāng)x=6時(shí)，ymax=3cm，

即點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)6cm處，且MN=3．