Question

【題目】在△ABC中，以AB為直徑作⊙O，⊙O交BC的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．求證：

（1）DE是⊙O的切線；

（2）AB＝AC．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)題意可得OD是△ABC的中位線，即OD∥AC，進(jìn)而可證DE⊥OD，根據(jù)切線的判定即可得證；

（2）連接AD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB＝90°，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得證.

證明：（1）連接OD，

∵O是AB的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線；

（2）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴AD垂直平分BC，

∴AB＝AC．