Question

【題目】在△ABN中，∠B =90°，點M是AB上的動點（不與A,B兩點重合），點C是BN延長線上的動點（不與點N重合），且AM=BC，CN=BM，連接CM與AN交于點P.

（1）在圖1中依題意補全圖形;

（2）小偉通過觀察、實驗，提出猜想:在點M，N運動的過程中，始終有∠APM=45°.小偉把這個猜想與同學(xué)們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的一種思路:

要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法移動部分等線段構(gòu)造全等三角形，證明線段相等，再構(gòu)造平行四邊形，證明線段相等，進而證明等腰直角三角形，出現(xiàn)45°的角，再通過平行四邊形對邊平行的性質(zhì)，證明∠APM=45°.

他們的一種作法是：過點M在AB下方作MDAB于點M,并且使MD=CN.通過證明△AMD△CBM,得到AD=CM,再連接DN，證明四邊形CMDN是平行四邊形，得到DN=CM，進而證明△ADN是等腰直角三角形，得到∠DNA=45°.又由四邊形CMDN是平行四邊形，推得∠APM=45°.使問題得以解決.

請你參考上面同學(xué)的思路，用另一種方法證明∠APM=45°.

Answer 1

【答案】（1）補圖見解析；（2）證明見解析

【解析】（1）在圖1中依題意補全圖形,如圖1所示：

（2）證明：如圖2，

過點A作ADAB于點A,并且使AD=CN.連接DM,DC.

∵AM=BC，∠DAM=∠MBC =90°，

∴△DAM△MBC.

∴DM=CM, ∠AMD=∠BCM.

∵∠DAM=90°.

∴∠AMD+∠BMC =90°.

∴∠DMC =90°.

∴∠MCD =45°.

∵AD∥CN,AD=CD,

∴四邊形ADCN是平行四邊形.

∴AN∥DC.

∵∠MCD =45°.

∴∠APM=45°.