Question

如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）當(dāng)t=秒時(shí)，則OP=      ，S_△ABP=            ；

（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）如圖2，當(dāng)AP=AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ·BP=3.為了證明AQ·BP=3，小華同學(xué)嘗試過(guò)O點(diǎn)作OE∥AP交BP于點(diǎn)E.試?yán)�用小華同學(xué)給我們的啟發(fā)補(bǔ)全圖形并證明AQ·BP=3．

		28題圖2
		28題備用圖
	28題圖1

Answer 1

.解：（1）1，；…………………………………… 2分

（2）①∵∠A<∠BOC=60°，

∴∠A不可能是直角.

②當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，

∵∠BOC=60°，

∴∠OPB=30°.

∴OP=2OB，即2t=2.

∴t=1. …………………………………… 3分

③當(dāng)∠APB=90°，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，則OP=2t，OD=t，PD=，AD=，DB=.

∵∠APD+∠BPD=90°，∠B+∠BPD=90°，∴∠APD=∠B. ∴△APD∽△PBD.

∴，即，即，解得（舍去）.

…………………………………… 4分

（3）補(bǔ)全圖形，如圖

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B.

∵OE∥AP

∴∠OEB=∠APB=∠B.

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°.

又∵∠3+∠OEB=180°，

∴∠3=∠QAB.

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

∵∠B=∠QOP，

∴∠1=∠2.

∴△QAO∽△OEP.

∴，即AQ·EP=EO·AO.

∵OE∥AP，

∴△OBE∽△ABP.

∴.

∴OE=AP=1，BP=EP.

∴AQ·BP=AQ·EP=AO·OE=×2×1=3. …………………………………… 6分