Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=mx+n(m≠0)的圖象與反比例函數(shù)y(k≠0)的圖象交于第一、三象限內(nèi)的A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，BM=OM=2，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4．

（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)mx+n時(shí)，x的取值范圍；

（3）直線AB交x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線l⊥x軸，如果直線l上存在點(diǎn)P，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以O、P、A、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y，y=2x+2；（2）x＞1或﹣2＜x＜0；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1，)或(﹣1，)或(﹣1，2)或(﹣1，2)．

【解析】

(1)根據(jù)題意得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出反比例函數(shù)解析式，再利用待定系數(shù)法得出一次函數(shù)解析式；

（2）若mx+n，結(jié)合圖象可知即一次函數(shù)圖象再反比例函數(shù)圖象之上，結(jié)合圖象即可求解；

（3）若以O、P、A、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，則存在兩種情況，①若AO為邊，②若AO是對(duì)角線.

（1）∵BM=OM=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2，﹣2)，

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y，

則﹣2，

得k=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y，

∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是4，

∴4，得x=1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，4)．

∵一次函數(shù)y=mx+n(m≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)A(1，4)、點(diǎn)B(﹣2，﹣2)，

∴，

解得：，

即一次函數(shù)的解析式為y=2x+2；

（2）由圖象可得當(dāng)x＞1或﹣2＜x＜0時(shí)，mx+n；

（3）存在，

若AO為邊，

如圖1，當(dāng)四邊形POAQ是矩形時(shí)，則∠POA=90°，

∵點(diǎn)A(1，4)，點(diǎn)O(0，0)，∴AO解析式為y=4x，∴直線DO解析式為：yx．

∵直線AB于x軸交于D，∴D(﹣1，0)，∴OD=1，

設(shè)P(﹣1，a)，∴a，∴點(diǎn)P(﹣1，)；

當(dāng)四邊形PAOQ是矩形，則∠PAO=90°，

同理可求：點(diǎn)P(﹣1，)；

若AO是對(duì)角線，

如圖2，當(dāng)∠APO=90°，

∵OP2=OA2﹣PA2=PD2+OD2，∴12+42﹣[(1+1)2+(4﹣a)2]=12+a2，

解得：a=2±，∴P(﹣1，2)或(﹣1，2)，

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1，)或(﹣1，)或(﹣1，2)或(﹣1，2)．