Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，﹣2）在對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線y=x2+bx+c的圖象上，其頂點(diǎn)為B．

（1）求頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)C在對(duì)稱軸上，若△ABC的面積為2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）將拋物線向左或右平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)落在y軸上，問(wèn)原拋物線上是否存在點(diǎn)M，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，滿足OM=ON？如果存在，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）(2,-3)；（2）（2，1）或（2，﹣7）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】分析：根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，即可求出，把點(diǎn)代入拋物線的解析式即可求出，把拋物線的解析式通過(guò)配方變成頂點(diǎn)式，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)則點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離是1，求出的值即可.

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上，則拋物線向左平移了2個(gè)單位長(zhǎng)度．平移后拋物線的解析式為： MN=2．點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)則 分別代入解析式可得解得

即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).

詳解：(1)∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，

∴，

解得：

∴

把代入，得

解得

∴該拋物線解析式為：

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：

(2)設(shè)則

∵點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離是1，

∴ 即a=1或

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是或；

（3）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上，

∴拋物線向左平移了2個(gè)單位長(zhǎng)度．

∴平移后拋物線的解析式為： MN=2．

∵

∴點(diǎn)O在線段MN的垂直平分線上，

又MN∥x軸，

∴點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，

設(shè)則 分別代入解析式可得

解得

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為點(diǎn)N的坐標(biāo)為.即原拋物線存在點(diǎn)M，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，滿足OM=ON，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為點(diǎn)N的坐標(biāo)為.