Question

【題目】如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC=3OA，拋物線C1的頂點(diǎn)為G．

（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個(gè)單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′、B′，頂點(diǎn)為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時(shí)，求k的值：

（3）在（2）的條件下，如圖3，設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點(diǎn)，試探究在直線y=﹣1上是否存在點(diǎn)N，使得以P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)及OC=3OA得點(diǎn)C坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入解析式求解可得；

（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)BD′=m，由等邊三角形性質(zhì)知點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（m+1，0），點(diǎn)G′的坐標(biāo)為（1，m），代入所設(shè)解析式求解可得；

（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根據(jù)PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均為鈍角知△AOQ≌△PQN，延長(zhǎng)PQ交直線y=﹣1于點(diǎn)H，證△OQM≌△QNH，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等建立關(guān)于x的方程，解之求得x的值從而進(jìn)一步求解即可．

（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴OA=1，

∴OC=3OA，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

將A、C坐標(biāo)代入y=ax2﹣2ax+c，得：，

解得：，

∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，

過點(diǎn)G′作G′D⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)BD′=m，

∵△A′B′G′為等邊三角形，

∴G′D=B′D=m，

則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（m+1，0），點(diǎn)G′的坐標(biāo)為（1，m），

將點(diǎn)B′、G′的坐標(biāo)代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：

，

解得：（舍），，

∴k=1；

（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），

∴PQ=OA=1，

∵∠AOQ、∠PQN均為鈍角，

∴△AOQ≌△PQN，

如圖2，延長(zhǎng)PQ交直線y=﹣1于點(diǎn)H，

則∠QHN=∠OMQ=90°，

又∵△AOQ≌△PQN，

∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，

∴∠MOQ=∠HQN，

∴△OQM≌△QNH（AAS），

∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，

解得：x=（負(fù)值舍去），

當(dāng)x=時(shí)，HN=QM=﹣x2+2x+2=，點(diǎn)M（，0），

∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（+，﹣1），即（，﹣1）；

或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；

如圖3，

同理可得△OQM≌△PNH，

∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，

解得：x=﹣1（舍）或x=4，

當(dāng)x=4時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；

綜上點(diǎn)M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．