Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，點(diǎn)E，F分別在邊BC，AC上，沿EF所在的直線折疊∠C，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，若△EFC和△ABC相似，則BD的長(zhǎng)為__________．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

連接CD，先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，再根據(jù)△EFC和△ABC相似，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，先推出CD⊥AB，進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)相等得出的值；當(dāng)時(shí)，先推出，，進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊求解．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，

∴，

若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，EF∥AB，

連接CD，如圖1所示：

∵由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，

∴CD⊥AB，即此時(shí)CD為AB邊上的高，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，

∴cosB，

∵在Rt△BDC中，cosB，

∴BD=BCcosB=4；

②當(dāng)時(shí)，∠CEF=∠A，

連接CD，如圖2所示：

∵由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，

∴∠CEF+∠ECD=90°，

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠B=∠ECD，

∴BD=CD，

同理可得：∠A=∠FCD，AD=CD，

∴D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，

∴BDAB，

故答案為：或．