Question

16．如圖，在扇形AOB中，∠AOB=120°，弦AB=$2\sqrt{3}$，點(diǎn)M是$\widehat{AB}$上任意一點(diǎn)（與端點(diǎn)A、B不重合），ME⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)M為圓心，ME長為半徑作⊙M，分別過點(diǎn)A、B作⊙M的切線，兩切線相交于點(diǎn)C．
（1）求$\widehat{AB}$的長；
（2）試判斷∠ACB的大小是否隨點(diǎn)M的運(yùn)動而改變？若不變，請求出∠ACB的大��；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，則AH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，根據(jù)弧長公式求出結(jié)果；
（2）連接AM、BM，根據(jù)切線的判定和性質(zhì)定理推出⊙M是△ABC的內(nèi)切圓，得到AM、BM是∠CAB、∠ABC的平分線，求出∠AMB=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，由已知條件∠AOB=120，可求得∠AMB=120°，得到∠ACB=60°，求出結(jié)果．

解答 解：（1）如圖：作OH⊥AB，

則AH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
易求AO=2，
∴弧AB的長=$\frac{120π•2}{180}$=$\frac{4π}{3}$，
（2）連接AM、BM，
∵M(jìn)E⊥AB，
∴AB是⊙M的切線，
∵AC、BC是⊙M的切線，
∴⊙M是△ABC的內(nèi)切圓，
∵AM、BM是∠CAB、∠ABC的平分線，
∴∠AMB=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠AOB=120°，
∴∠AMB=120°，
∴∠ACB=60°，
即∠ACB的大小不變，為60°．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，弧長的公式，切線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線內(nèi)切圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．