Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax²+bx﹣4經(jīng)過A（﹣4，0），C（2，0）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線與y軸交點(diǎn)．判斷有幾個(gè)位置能夠使以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

　

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，然后把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)圖形的割補(bǔ)法，可得二次函數(shù)，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出第三象限內(nèi)二次函數(shù)的最值，然后即可得解；

（3）利用直線與拋物線的解析式表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，然后求出PQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等列出算式，然后解關(guān)于x的一元二次方程即可得解．

【解答】解：（1）將A（﹣4，0），C（2，0）兩點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得

解得

所以此函數(shù)解析式為：y=x²+x﹣4；

（2）∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在這條拋物線上，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m， m²+m﹣4），

∴S=S_△AOM+S_△OBM﹣S_△AOB

=×4×（m²+m﹣4）+×4×（﹣m）﹣×4×4

=﹣m²﹣2m+8﹣2m﹣8

=﹣m²﹣4m

=﹣（m+2）²+4，

∵﹣4＜m＜0，

當(dāng)m=﹣2時(shí)，S有最大值為：S=﹣4+8=4．

答：m=﹣2時(shí)S有最大值S=4．

（3）∵點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，﹣a），

∵點(diǎn)P在拋物線上，且PQ∥y軸，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a， a²+a﹣4），

∴PQ=﹣a﹣（a²+a﹣4）=﹣a²﹣2a+4，

又∵OB=0﹣（﹣4）=4，

以點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴|PQ|=OB，

即|﹣a²﹣2a+4|=4，

①﹣a²﹣2a+4=4時(shí)，整理得，a²+4a=0，

解得a=0（舍去）或a=﹣4，

﹣a=4，

所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣4，4），

②﹣a²﹣2a+4=﹣4時(shí)，整理得，a²+4a﹣16=0，

解得a=﹣2±2，

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）．

綜上所述，Q坐標(biāo)為（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）時(shí)，使點(diǎn)P，Q，B，O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；利用圖形割補(bǔ)法得出二次函數(shù)的最值問題是解題關(guān)鍵；平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離的表示，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解．