Question

7．（1）．如圖1，小明和小亮在研究一個數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，AB和CD都不經(jīng)過點(diǎn)P，探索∠P與∠A，∠C的數(shù)量關(guān)系．

小明是這樣證明的：過點(diǎn)P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等，）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）             
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是這樣證明的：過點(diǎn)作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
請?jiān)谏厦孀C明過程的過程的橫線上，填寫依據(jù)；兩人的證明過程中，完全正確的是小明．
（2）應(yīng)用：
在圖2中，若∠A=120°，∠C=140°，則∠APC的度數(shù)為100°；
（3）拓展：
在圖3中，探索∠APC與∠A，∠C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)P作PQ∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APQ=∠A，∠C=∠CPQ，即可得出答案；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A+∠APQ=180°，∠C+∠CPQ=180°，求出∠APQ和∠CPQ，即可得出答案；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C=∠POB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠APC=∠POB-∠A，代入求出即可．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PQ∥AB，
∴∠APQ=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠CPQ=∠C，
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，
即∠APC=∠A+∠C；
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，小明；

（2）如圖2，過P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A+∠APQ=180°，∠C+∠CPQ=180°，
∵∠A=120°，∠C=140°，
∴∠APQ=60°，∠CPQ=40°，
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=100°，
故答案為：100°；

（3）∠APC=∠C-∠A，
理由是：如圖3，∵AB∥CD，
∴∠C=∠POB，
∵∠APC=∠POB-∠A，
∴∠APC=∠C-∠A．

點(diǎn)評 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．