Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求直線BC的解析式．

(2)點(diǎn)P是線段BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

①求四邊形PBAC面積的最大值，并求四邊形PBAC面積的最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如果在x軸上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)x2﹣x﹣4，；(2)①16；②點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，0)或(6，0)

【解析】

（1）先根據(jù)題意確定點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可解答；

（2）①過(guò)P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)N,連接PC,PB．設(shè)P(x,x2﹣x﹣4),N(x,x-4)．再用x表示出PN的長(zhǎng)度，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出PN的最大值，進(jìn)而求得的最大值，最后再加上即可解答；②以BC為平行四邊形的一邊和以BC為平行四邊形的對(duì)角線兩種情況討論，利用平移和中點(diǎn)公式進(jìn)行求解即可．

解：(1)由點(diǎn)A、B、C在拋物線yx2﹣x﹣4的函數(shù)圖像上

令y=0，則x=4或﹣2，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(﹣2，0)、(4，0);

令x=0時(shí)，y=-4,即C點(diǎn)坐標(biāo)(0，-4)．

由待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為：y=x-4．

(2)

①如圖，過(guò)P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)N,連接PC,PB．

設(shè)P(x,x2﹣x﹣4),N(x,x-4)．

∴PN=x-4-(x2﹣x﹣4)=-x2+2x=-（x-2）2-2

∴當(dāng)x=2時(shí)，PN有最大值為2．此時(shí)P坐標(biāo)為(2，-4)．

∴=PN·OB=×2×4=4

∴四邊形PBAC面積最大值==12+4=16

② 第一種情況：當(dāng)BC是平行四邊形的一條邊時(shí)，

如圖所示，點(diǎn)C向右平移4個(gè)單位、向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)B，

設(shè)：點(diǎn)P(n，n2﹣n﹣4)，點(diǎn)Q(m，0)，

則點(diǎn)P向右平移4個(gè)單位、向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)Q，

即：n+4=m，n2﹣n﹣4+4=0，

解得：m=4或6(舍去4)，

即點(diǎn)Q(6，0)；

第二種情況：當(dāng)BC是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

設(shè)點(diǎn)P(m，n)、點(diǎn)Q(s，0)，其中nm2﹣m﹣4，

由中點(diǎn)公式可得：m+s=﹣2，n+0=4，

解得：s=2或4(舍去4)，

故點(diǎn)Q(2，0)；

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，0)或(6，0)；