Question

 已知和關于直線對稱(點的對稱點是點)，點、分別是線段和線段上的點，且點在線段的垂直平分線上，聯(lián)結、，交于點．

    （1）如圖（1），求證：；

    （2）如圖（2），當時，是線段上一點，聯(lián)結、、，的延長線交于點，，，試探究線段和之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

圖（1）                              圖（2）

Answer 1

 (1)證明：如圖1  連接FE、FC 

∵點F在線段EC的垂直平分線上,

        ∴ FE=FC    ∴∠l=∠2   

∵△ABD和△CBD關于直線BD對稱．

∴AB=CB ,∠4=∠3，又BF=BF

    ∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠2，FA=FC 

∴FE=FA，∠1=∠BAF．∴∠5=∠6，

∵ ∠l+∠BEF=180⁰，∴∠BAF+∠BEF=180⁰

       ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360⁰   

∴∠AFE+∠ABE=180⁰

又∵∠AFE+∠5+∠6=180⁰ ，  

∴∠5+∠6=∠3+∠4          

∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD

(2)解：FM=FN

證明：如圖2，由(1)可知∠EAF=∠ABD，

又∵∠AFB=∠GFA  ∴△AFG∽△BFA

   ∴∠AGF=∠BAF

又∵∠MBF=∠BAF，∴∠MBF=∠AGF 

    又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG  

∴BG=MG

∵AB=AD  ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF

又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．

∵AF=AD                                        圖2

設GF=2a，則AG=3a，

∴GD=a，∴FD=DG-GF==a

∵∠CBD=∠ABD ，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB.

∴．∴，設EG=2k，則MG=BG=3k

過點F作FQ∥ED交AE于Q，

 

∴GQ=EG=．∴QE=， MQ=MG+GQ=3k+=

∵FQ∥ED，.∴FM=FN